Integralkriterium Reihen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 15.07.2012 | | Autor: | Daidalos |
| Aufgabe | | Konvergenzuntersuchung von der Reihe ak = [mm] (k^2+4*k)^{-1/2}. [/mm] |
Hallo zusammen,
obengenannte Reihe divergiert ja nach dem Integralkriterium. Allerdings konvergiert sie nach dem "notwengigen Kriterium", nach welchem der Grenzwert der Reihe im unendlichen 0 sein soll.
Nun stelle ich mir die Frage woran ich erkenne welches der beiden Kriterien gilt. Ich komme einfach nicht darauf woran ich erkenne welches ich anwenden soll.
Vielen Dank und beste Grüße,
Robert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Robert und erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Konvergenzuntersuchung von der Reihe ak =
> [mm](k^2+4*k)^{-1/2}.[/mm]
> Hallo zusammen,
> obengenannte Reihe divergiert ja nach dem
> Integralkriterium.
Ich würde das Vergleichskriterium nehmen und eine einfache divergente Minorante angeben ...
> Allerdings konvergiert sie nach dem
> "notwengigen Kriterium", nach welchem der Grenzwert der
> Reihe im unendlichen 0 sein soll.
Nä!
Was soll das denn sein? Ich nehme an, du meinst das Trivialkriterium, das wie du sagst, eine notwendiges Kriterium für Reihenkonvergenz ist, aber doch kein hinreichendes.
Es ist zwar die Folge der Reihenglieder, also der [mm] $a_k$ [/mm] eine Nullfolge.
Das heißt aber noch lange nicht, dass die Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] konvergiert.
Es gilt: [mm] $\sum a_k$ [/mm] konv. [mm] $\Rightarrow (a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist Nullfolge
Mit Kontraposition also äquivalent [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist KEINE Nullfolge [mm] $\Rightarrow \sum a_k$ [/mm] div.
Du kannst also aus der Konvergenz der Folge der Reihenglieder nicht auf die Konvergenz der Reihe schließen, wohl aber aus der Divergenz der Folge der Reihenglieder auf Divergenz der Reihe
Bestes Bsp. ist doch die harmonische Reihe [mm] $\sum [/mm] 1/k$
[mm] $(1/k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist Nullfolge, aber die harm. Reihe divergiert ...
> Nun stelle ich mir die Frage woran ich erkenne welches der
> beiden Kriterien gilt. Ich komme einfach nicht darauf woran
> ich erkenne welches ich anwenden soll.
Mit dem Trivialkrit. kannst du nur sicher Divergenz folgern (falls die Folge der Reihenglieder div)
>
> Vielen Dank und beste Grüße,
>
> Robert
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 So 15.07.2012 | | Autor: | Daidalos |
Hallo schachuzipus,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Sehr gut erklärt, denn ich denke ich habe verstanden wo mein Problem lag. Das Trivialkriterium (Im Merziger als "notwendiges Kriterium" aufgeführt) dient also zum eindeutigen Nachweis von Divergenz. Für einen hinreichenden Nachweis von Konvergenz sind jedoch weitere Kriterien zu erfüllen. Habe das ganze jetzt erstmal mit dem Integralkriterium gelöst, weil ich das verstanden habe. Das Vergleichskriterium findet aber bestimmt in weiteren Übungsaufgaben Anwendung.
Vielen Dank und schönen Sonntag noch,
Robert
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