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| Aufgabe | "Untersuchen Sie, ob die vom Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [c;+ bzw. (- begrenzte, ins Unendlich reichende Fläche einen Flächeninhalt A besitzt. Geben SIe gegebenenfalls A an."
(Aus Lambacher Schweizer Analysis Grundkurs, S. 135 Aufgabe 2)
a) [mm] f(x)=2/x^2 [/mm] ; [1;+ $ [mm] \infty) [/mm] $
b) f(x)=-4x^(-3) ; $ [mm] (-\infty [/mm] $; -1 ]
c) f(x)=3e^(0.2x+1) ; $ [mm] (-\infty [/mm] $ ; 0 ]
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Also es einmal tut es mir leid, dass ich hierfür extra eine neue Diskussion eröffne aber auf die Diskussion vom 16:53 Mo 16.05.2005 kann ich leider nicht antworten. Ich lerne zurzeit für die Vorabi Klausur , welche ich kommenden Montag schreibe. So und da unserer Lehrer zurzeit krank ist sollen wir diese Aufgaben selbstständig lösen.
Meine erste Frage wäre:
Woher weiß man, ob die ins Unendliche reichnende Fläche einen Flächeninhalt besitzt. Muss ich das dafür aussrechnen oder sieht man das auch so sofort?
Danke schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und gesehen ausser hier in diesem Forum
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Hallo Gangsta,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Mit etwas Übung sieht man evtl. schon, ob ein uneigentliches Integral auch einen endlichen Wert besitzt.
Aber im Zweifelsfalle rechnet man sich das einfach aus. Das funktioniert bei derartigen uneigentlichen Integralen mit einer Grenzwertbetrachtung.
Nehmen wir mal Dein erstes Beispiel:
[mm] $\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\integral_{1}^{u}{\bruch{1}{x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\integral_{1}^{u}{x^{-2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\left[ \ -x^{-1} \ \right]_{1}^{u} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\left[ \ -\bruch{1}{x} \ \right]_{1}^{u} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\left[-\bruch{1}{u}-\left(-\bruch{1}{1}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\left[1-\bruch{1}{u}\right] [/mm] \ = \ 1-0 \ = \ 1$
Gruß vom
Roadrunner
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Also ich habe es nur halb verstanden.
Den letzen Schritt wenn man rechnet 1-(1/u) kommt 1-0=1 raus.
Also soll u das begrenzte Intervall darstellen?
Wie rechnet man 1/u aus oder muss ich da etwas für einsetzen.
So und die letzte Frage ist das Ergebnis 1 nun der Flächeninhalt?? 
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Di 14.03.2006 | | Autor: | Arkus |
Hi :)
Da du mit einem Begriff wie "unendlich" schlecht rechnen kannst, ersetzt du ihm mit einer Variablen, wie zum Beispiel u.
Du integrierst nun wie gewohnt und führst anschließend einen Grenzwertbetrachtung durch.
Bei der
[mm] $\lim\limits_{u \rightarrow \infty} \frac{1}{u} [/mm] = 0$
gilt, denn für u gegen + unendlich strebt die Funktion gegen 0 (Leicht am Graphen sichtbar).
Funktionsausdrücke der Form [mm] $\frac{1}{x^n}$ [/mm] streben dafür gewöhnlich immer gegen 0 (für + unendlich).
Eigentlich ein ganz bekannter Grenzwert ;)
Im Beispiel ergibt das dann 1-0 und das ist eben 1, sprich die Funktion hat einen endlichen Flächeninhalt, welcher genau 1 Flächeneinheiten groß ist.
MfG Arkus
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Boh ist das kompilziert. also ich hab verstanden was du mir verklickern möchtest. Aber in dem Beitrag zuvor wo diese Aufgaben auch besprochen wurde bekommt die person bei aufgabe a
A strebt gegen + $ [mm] \infty; [/mm] $ (keine begrenzte Fläche)
Das ist doch nicht dasselbe als wenn ich eins raus bekomme oder?
weil bei b soll ja 2 und bei c 15e rauskommen
Heißt das desweiteren immer wenn du ein ergebnis raus bekommst ist die Fläche endlich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Di 14.03.2006 | | Autor: | Walde |
hi,
> Boh ist das kompilziert. also ich hab verstanden was du mir
> verklickern möchtest. Aber in dem Beitrag zuvor wo diese
> Aufgaben auch besprochen wurde bekommt die person bei
> aufgabe a
>
> A strebt gegen + [mm]\infty;[/mm] (keine begrenzte Fläche)
>
>
>
> Das ist doch nicht dasselbe als wenn ich eins raus bekomme
> oder?
>
Nein, nicht dasselbe. Ich kenne den Beitrag nicht, den du meinst, aber hier ist es richtig gemacht worden, meiner Meinung nach.
>
>
> weil bei b soll ja 2 und bei c 15e rauskommen
>
Ich habs jetzt nicht nachgerechnet.
>
>
> Heißt das desweiteren immer wenn du ein ergebnis raus
> bekommst ist die Fläche endlich?
Ja, wenn eine Zahl rauskommt, ist es endlich, wenn man [mm] \infty [/mm] rausbekommt, ist es nicht endlich.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Di 14.03.2006 | | Autor: | Arkus |
Hmm vlt hat sich die Person verrechnet :-?
Ich kenn den Beitrag ja nicht ...
Habs grad nochmal nachgerechnet. Wie du sagst, kommt bei b) 2 FE und bei c) 15 e FE heraus.
Wenn du dabei auch noch Hilfe brauchst ... frag einfach! :D
MfG Arkus
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Oh man ich gibs einfach auf. Aufgabe a hab ich nun verstanden aber bei b bleib ich schon wieder hängen. Ich hab mir mal den schritt aus dem anderen tread anguckt und versteh nur bahnhof. Naja trotzdem an alle ein danke schön. Ich leg mich schlafen und hoffe das ich bis montag zur klausur mathe kann :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Di 14.03.2006 | | Autor: | Arkus |
Ich erklär dir nochmal schnell die 1. und die 2.
Hoffe, dass es dann für dich eindeutiger wird :)
a) [mm] \int\limits_{1}^{+\infty} \frac{2}{x^2} \, [/mm] dx
1. Wir setzen die 2 im Zähler als Faktor vor das Integral (Faktorregel)
=> 2 [mm] \cdot \int\limits_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, [/mm] dx
2. Ersetzen der Integrationsgrenzen mit [mm] +\infty=u
[/mm]
2 [mm] \cdot \int\limits_{1}^{u} \frac{1}{x^2} \, [/mm] dx
3. Integral von [mm] \frac{1}{x^2}
[/mm]
=> [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] = [mm] x^{-2} [/mm] mit Potenzregel -1 [mm] \cdot x^{-1}
[/mm]
=> [mm] -\frac{1}{x}
[/mm]
4. alles zusammen + Grenzwertbetrachtung
$2 [mm] \cdot \lim\limits_{u \rightarrow \infty}\int\limits_{1}^{u}\frac{1}{x^2} \, [/mm] dx = 2 [mm] \cdot \lim\limits_{u \rightarrow \infty} \left [ -\frac{1}{x} \right ]_{1}^{u} [/mm] = 2 [mm] \cdot \lim\limits_{u \rightarrow \infty} \left [ -\frac{1}{u}+\frac{1}{1} \right [/mm] ] = 2 [mm] \cdot [/mm] [-0+1] = 2 FE$
=> Wenn du die Integrationsgrenzen einsetzt erhälst du [mm] \frac{1}{u}, [/mm] dessen Grenzwert für u gegen unendlich gegen 0 läuft, darum steht dann im nächsten Schritt nur noch eine 0 da. Der Rest ergibt 2 und das dies eine reele Zahl und kein Argument wie [mm] \infty [/mm] ist, hat die Funktion in dem Intervall einen endlichen Flächeninhalt mit dem Wert 2 FE.
b) [mm] \int\limits_{-\infty}^{-1}-4 \cdot x^{-3} \, [/mm] dx
1. Wir setzen die -4 als Faktor vor das Integral (Faktorregel)
-4 [mm] \cdot \int\limits_{-\infty}^{-1} x^{-3} \, [/mm] dx
2. Ersetzen der Integrationsgrenzen mit [mm] -\infty=u
[/mm]
-4 [mm] \cdot \int\limits_{u}^{-1} x^{-3} \, [/mm] dx
3. Integral von [mm] x^{-3}
[/mm]
=> mit Potenzregel [mm] -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2}
[/mm]
4. alles zusammen + Grenzwertbetrachtung
[mm] $-4\cdot \lim\limits_{u \rightarrow \infty}\int\limits_{u}^{-1} x^{-3} \, [/mm] dx = -4 [mm] \cdot \lim_{u \rightarrow \infty} \left [ -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2} \right ]_{u}^{-1} [/mm] = -4 [mm] \cdot \lim_{u \rightarrow \infty} \left [ -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u^2} \right [/mm] ] = -4 [mm] \cdot \left [ -\frac{1}{2}+0 \right [/mm] ]$ = 2 FE
Auch hier geht der Grenzwert für [mm] \frac{1}{u^2} [/mm] wieder gegen 0, auch wenn es dieses mal [mm] -\infty [/mm] ist.
Wenn du Probleme mit den Grenzwerten hast, kannst du auch testweise einfach für [mm] -\infty [/mm] sehr kleine und für [mm] +\infty [/mm] sehr große zahlen in den Rechner tippen und einfach mal schauen, was so rauskommt, dann kann man zumindestens schon mal abschätzen wo hin das ganze geht (bezieht sich auf die Grenzwertbetrachtung).
Wenn du z.B eine sehr große Zahl für [mm] \frac{1}{x} [/mm] eintippst und ausrechnest, wirst du irgendwas rausbekommen, was relativ verschwindend nah an der 0 liegt. Dann kann man sich schon denken bzw. besser vorstellen, was der Grenzwert ist.
Ich hoffe du verstehst es jetzt besser :)
Wenn nicht einfach nochmal fragen ;)
MfG Arkus
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Wow ich bin dir sehr dankbar. Ich wollte jetzt gleich mal die Aufgaben selber nochmal rechnen damit ich mir die Methode besser einpräge. Aber mir ist aufgefallen dass du jetzt bei Aufgabe a 2rausbekommst und eben hast du 1FE geschrieben. Aber ist halb so wild jetzt bin ich mal an der Reihe und gucke mal was ich rausbekomme.
Danke für deine tolle Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 14.03.2006 | | Autor: | Arkus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Ja da hast du Recht, aber da wurde ja nicht die eigentliche Aufgabe, sondern nur
$ \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} \, dx $
betrachtet (als Beispiel), auf die ich mich dann auch bezog. Deine eigentliche Aufgabe aber war ja
$ \integral_{1}^{\infty}{\bruch{2}{x^2} \, dx $
welche ich nun gelöst hab.
Du hast ja noch die 3. Aufgabe ;)
Aber am besten du rechnest einfach alle beide nochmal Schritt für Schritt durch. Das hilft immer am besten!
Kannst ja auch einfach mal ein wenig die Funktionswerte oder Intervallgrenzen ändern oder du hast noch mehr Übungsaufgaben, weiß nich :)
MfG Arkus
P.S.: Gerngeschehen :D
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