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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Ayhan |
| Aufgabe | Der Graph der Funktion f mit [mm] f(x)=e*x+e^{-x} [/mm] , schließt mit der Koordinatenachse eine Fläche ein.
Bestimmen Sie den inhalt dieser Fläche. |
Hallo liebe Leute ,
kann mir jemand hier helfen ?Weiss nicht wie ich diese aufgabe angehen soll,und wie überhaupt die Punkte der Koordinatenachse heraus finden soll...
f(x) = [mm] e*x+e^{-x}
[/mm]
also , die ableitungen wäre ,wenn ich nicht falsch vorgegangen bin :
f ' (x) = [mm] e*1+e^{-x}*(-1)
[/mm]
f ' (x) [mm] =e-e^{-x}
[/mm]
f '' (x) = [mm] e^{-x}
[/mm]
f '''(x) = [mm] -e^{-x}
[/mm]
wie muss ich weiter vorgehen?
LG
Ayhan
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Hallo Ayhan!
Wozu bildest Du denn die Ableitungen?
Für die Berechnung von Flächen zwischen Funktionskurven und x-Achse verwenden wir doch die Integralrechnung.
Hier mal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Damit wird die gesuchte Fläche berechnet mit:
$A \ = \ [mm] \integral_{-1}^{0}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-1}^{0}{e*x+e^{-x} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hallo Roadrunner,
ok dann.
Aber wie bist denn Du an die Grenzen dran gekommen ,sie waren doch nicht bekannt und vom koordinatenachsen her kann ich das allein nicht erkennen?
LG
Ayhan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Ayhan,
für den Schnittpunkt mit der x-Achse muss y=0 sein, also [mm] e*x+e^{-x}=0
[/mm]
x=-1 erfüllt diese Gleichung:
[mm] e*(-1)+e^{-(-1)}=-e+e=0
[/mm]
für den Schnittpunkt mit der y-Achse muss x=0 sein
[mm] e*0+e^{-0}=1=y
[/mm]
damit hast du [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm] - deine Grenzen
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hallo Herby,
1.) hast Du den einen summanden mit [mm] e^{-x}und [/mm] den anderen e rüber geholt und dann mit ln weiter gemacht ? um an den SP von der x-achse dran zukommen?
2.)
zu meiner stammfkt.
sie wäre dann doch F(x) = e*x* [mm] \bruch{1}{2}x^2-e^{-x}
[/mm]
LG
Ayhan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Hallo Herby,
>
> 1.) hast Du den einen summanden mit [mm]e^{-x}und[/mm] den anderen
> e rüber geholt und dann mit ln weiter gemacht ? um an den
> SP von der x-achse dran zukommen?
nein, nur eingesetzt - das geht auch, glaube ich, nur numerisch, weil du ein x im Exponenten stehen hast.
> 2.)
> zu meiner stammfkt.
> sie wäre dann doch F(x) = e*x* [mm]\bruch{1}{2}x^2-e^{-x}[/mm]
>
du kannst das Integral trennen und jeden Summanden einzeln integrieren.
außerdem ist e bei e*x eine Konstante und kommt vor das Integral, somit hast du einmal x zu integrieren und einmal [mm] e^{-x}
[/mm]
damit erhältst du [mm] e*\bruch{1}{2}*x²-e^{-x}
[/mm]
jetzt noch die Grenzen einsetzen
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hi,
[mm] \integral_{-1}^{0}{e* \bruch{1}{2}*x^2-e^{-x}dx}=[e* \bruch{1}{2}*x^2-e^{-x}]^0_{-1}
[/mm]
=[e* [mm] \bruch{1}{2}*0^2-e^{-0}] [/mm] - [e* [mm] \bruch{1}{2}*(-1)^2-e^{1}]
[/mm]
= (-1) - [mm] \bruch{1}{2}*e+e [/mm]
kann das sein das meine Fläche :
A= + [mm] \bruch{1}{2}*e-1 [/mm]
beträgt ?
LG
Ayhan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Kyrill |
Ja, das Ergebnis stimmt so!
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