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| Aufgabe | Im Integranden von [mm] \integral_{}^{}{e^{-\bruch{1x}{3}} dx}
[/mm]
steht eine Verkettung der Funktionen
[mm] e^{z} [/mm] mit z = [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] *x
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Hi Leute!
Wieso folgt aus der Substitutionsgleichung
z = -1/3x -> dz = -1/3dx ??
Und wie kommt überhaupt die Formel zustande : dz = z'(x)*dx
Naja wenn sich jemand Gedanken machen würde, wärs echt nett^^
Mfg B33r3
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Mi 01.11.2006 | | Autor: | chrisno |
> Im Integranden von [mm]\integral_{}^{}{e^{-\bruch{1x}{3}} dx}[/mm]
>
> steht eine Verkettung der Funktionen
> [mm]e^{z}[/mm] mit z = [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] *x
>
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> Hi Leute!
> Wieso folgt aus der Substitutionsgleichung
> z = -1/3x -> dz = -1/3dx ??
>
> Und wie kommt überhaupt die Formel zustande : dz =
> z'(x)*dx
Das hängt etwas davon ab, wie Du es gelernt hast. Der praktische Zugang ist ein sehr lockerer Umgang mit dem Symbol für die Ableitung [mm] $\bruch{dz}{dx} [/mm] = z'(x)$
Kennst Du diese Schreibweise für die Ableitung?
Dann wird das einfach per Bruchrechnung umgeformt, in diesem Fall also mit dx multipliziert.
Die Begründung, warum das so funktioniert, ist etwas aufwendiger.
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> Naja wenn sich jemand Gedanken machen würde, wärs echt
> nett^^
>
> Mfg B33r3
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo B33r3,
ich versuch das mal anders auszuführen:
Für das [mm] dz [/mm] kannst du auch schreiben:
[mm] dz = dz * 1 [/mm]
Da auch
[mm] \bruch{dx}{dx} = 1[/mm] ist (kürzt sich ja weg), kannst du die eine Seite wie oben gezeigt mit 1 multiplizieren, ohne das Ergebniss dabei zu verfälschen.
Also ist
[mm] dz = dz [/mm] genau das selbe wie [mm] dz = dz * \bruch{dx}{dx} [/mm]
Für die erste Ableitung der Funktion [mm] z(x) [/mm] wirst du ja sicher das Symbol kennen: [mm] z'(x) [/mm]
Dieses Symbol ist das identische Symbol wie [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm]
Also können wir unsere kleine Erweiterung von oben auch so schreiben:
[mm] dz = \bruch{dz}{dx} * dx = z'(x) * dx [/mm]
So, da
[mm] z'(x) = -\bruch{1}{3} [/mm] ist,
gilt auch für unseren erweiterten Term
[mm] dz = -\bruch{1}{3}dx [/mm]
Kommst du damit zurecht?
Gruß
Chochalski
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Ok hab es im prinzip gut nachvollziehen können -> also danke für die gute erklärung^^
ähm hab nur noch eine kleine frage...wieso soll
$ z'(x) $ identisch mit $ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] $ sein?
gruss b33r3
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Letztendlich ist es (einfach gesagt  ) nur eine andere Schreibweise, d.h., wenn z(x) eine Funktion ist, kennst du sicherlich die Ableitung von z nach x als z'(x).
Nun gibt es noch eine andere Bezeichnung dafür, nämlich:
z'(x) = [mm] \bruch{d}{dx}z(x)
[/mm]
Wenn man das ganze nun als Multiplikation ansieht, kannst du das z(x) auch auf den Bruchstrich schreiben, da das aber zu lang wäre, schreibt man stattdessen nur z . Das macht man eigentlich auch mit Funktionen, anstatt immer z'(x) zu schreiben, schreibt man (später) nur noch z'
also:
z'= [mm] \bruch{dz}{dx}
[/mm]
Gruß,
Gono.
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z'(x) = $ [mm] \bruch{d}{dx}z(x) [/mm] $
ok, danke für die deine Erklärung!!
Hm hab aber aber leider noch ne frage^^ wie kommt bei deinem Term
das $ [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] $ zustande...ich würde das gerne verstehen können..auch wenn ich es nur rechnen kann. Oder sollte man sich mit dieser einfachen definition zu frieden geben, interessiert mich nur wie so "ultra" professoren sowas entwickelt haben(bzw hergeleitet haben)^^? *srywennichmichsokomischausdrücke* *gg*
gruss die b33r3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Sa 04.11.2006 | | Autor: | chrisno |
> z'(x) = [mm]\bruch{d}{dx}z(x)[/mm]
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> ok, danke für die deine Erklärung!!
> Hm hab aber aber leider noch ne frage^^ wie kommt bei
> deinem Term
> das [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] zustande...ich würde das gerne verstehen
Also das [mm] $\bruch{dz}{dx}$ [/mm] kommt vom Differenzenquotienten [mm] $\bruch{\Delta z}{\Delta x}$. [/mm] Das [mm] $\Delta$ [/mm] wird in ein d verwandelt um den Grenzwert anzuzeigen.
Das [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] halte ich für eine Schreibweise, mit der man mehr den Operatoraspekt betonen will. Das [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] ist ein Ding, das auf das z(x) losgelassen wird und das dann differenziert.
> können..auch wenn ich es nur rechnen kann. Oder sollte man
> sich mit dieser einfachen definition zu frieden geben,
> interessiert mich nur wie so "ultra" professoren sowas
> entwickelt haben(bzw hergeleitet haben)^^?
> *srywennichmichsokomischausdrücke* *gg*
>
> gruss die b33r3
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