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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | $\integral_{-\infty}^{\infty}{2*t*exp(-t^2)*sin(exp(-t^2))\ \ dx}$ |
Hi,
ich werde die Aufgabe mit Substitution lösen.
$\integral_{-\infty}^{\infty}{2*t*exp(-t^2)*sin(exp(-t^2))\ \ dx}$
Ich werde $exp(-t^2)$ substituieren.
$\green{s=exp(-t^2)}$
$\green{\bruch{ds}{dt}=-2*t*exp(-t^2)$ $\Rightarrow$ $dt=\bruch{1}{-2*t*exp(-t^2)}ds$
Jetzt bekomme ich aber Probleme bei dem Grenzen neu bestimmen. Ich möchte die Grenzen neu bestimmen um mir das "Rücksubstituieren" ersparen zu können.
$\red{\infty:= exp(-(\infty)^2)\approx 0} $
$\red{-\infty:= exp(-(-\infty)^2)\approx 0} $
Stimmt das?
Wir hatten auch schon Aufgaben, bei denen man das über den lim macht. Indem man das Unendlich durch einen Variable ersetzt und dessen lim gegen ihren "alten Wert" in diesem Fall "Unendlich" laufen lässt (dies würde man in diesem Fall mit zwei Variablen machen für "Unendlich" und "-Unendlich"). Jedoch haben wir das nie mit substitution gemacht. Weil dann wüsste ich nicht, wie ich die neuen Grenzen anpassen soll, wenn es sich nur um eine Variable handelt.
Was sagt ihr dazu?
Danke
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mi 25.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Mein Vorschlag: löse das Integral erst als unbestimmtes Integral und mache dann die Substitution rückgängig.
Aber ansonsten deutet der Fall [mm] $\exp\left[-(-\infty)^2\right] [/mm] \ = \ [mm] \exp\left[-(+\infty)^2\right] [/mm] \ = \ 0$ darauf hin, dass auch das gesamte gesuchte Integral den Wert $0_$ hat, da ja allgemein gilt:
[mm] $\integral_a^a{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ F(a)-F(a) \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{2*t*exp(-t^2)*sin(exp(-t^2))\ \ dx}[/mm]
Doch eher $dt$ als $dx$, nicht? - Andernfalls existiert dieses Integral für die meisten [mm] $t\in \IR$ [/mm] nicht.
> Hi,
>
> ich werde die Aufgabe mit Substitution lösen.
An sich kannst Du Dir eine genauere Rechnung sparen, denn der Integrand ist eine ungerade Funktion (da Produkt der ungeraden Funktion [mm] $t\mapsto [/mm] t$ mit ansonsten geraden weiteren Faktorfunktionen). Daher verschwindet das Integral über jedem zum Ursprung symmetrischen Integrationsbereich (gut: eine Enschränkung ist zu machen: man muss sicher sein, dass das uneigendliche Integral überhaupt existiert, das heisst, dass [mm] $\lim_{a\rightarrow +\infty}\int_{-a}^a (\ldots) \;dt$ [/mm] existiert).
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