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| Aufgabe | Sei f: [mm] [0,1]\to\IR [/mm] stetig und [mm] {x_n}_(n\in\IN) [/mm] die durch
[mm] x_n [/mm] = [mm] n\integral_{0}^{1}{x^n}{f(x^n) dx}, n\in\IN
[/mm]
definierte Folge.
a) Berechnen Sie die Grenzwert der Folge.
b) Berechnen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n(x_n [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}) [/mm] |
Kann mir vielleicht jemand helfen??
Sitze jetzt seid einer Stunde an dieser Aufgabe und kriege nichts gebacken.
Danke im Voraus.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Fr 14.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei f: [mm][0,1]\to\IR[/mm] stetig und [mm]\{x_n\}_{(n\in\IN)}[/mm] die durch
>
> [mm]x_n[/mm] = [mm]n\integral_{0}^{1}{x^n}{f(x^n) dx}, n\in\IN[/mm]
>
> definierte Folge.
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> a) Berechnen Sie die Grenzwert der Folge.
Wie wär's mit der Substitution [mm]z=x^n[/mm] in dem Integral?
Viele Grüße
Rainer
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hi, ja das mit Sub. hatte ich mir auch schon überlegt, aber ich komme irgendwie trotzdem nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
mein Vorschlag wäre folgender:
erstma substituieren: $t = [mm] x^n$, [/mm] dadurch erhalten wir :
[mm] x_n [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\frac{t\cdot f(t)}{t^{\frac{n-1}{n}}} dt}.
[/mm]
wenn man jetzt zeigt, dass [mm] \|f(t) [/mm] - [mm] \frac{t\cdot f(t)}{t^{\frac{n-1}{n}}}\|_{sup} \longrightarrow [/mm] $0$ , d.h. also wenn man zeigen kann das [mm] \frac{t\cdot f(t)}{t^{\frac{n-1}{n}}} [/mm] gleichmäßig gegen [mm] \mm f(t)\mm [/mm] konvergiert, würde folgen :
[mm] $x_n \longrightarrow \integral_{0}^{1}{f(t) dt}$
[/mm]
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