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| Aufgabe | Berechen sie [mm] U_{n} [/mm] und [mm] O_{n} [/mm] für die Funktion f(x)=x² über dem Intervall [0;10]. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n--> [mm] \infty [/mm] ?
Benötigte Summenformel:
1²+2²+...+n²= [mm] \bruch{n(n+1)*(2n+1)}{6} [/mm] |
haben das heute zum erstmal in der shcule gemacht, doch leider steh ich gerade echt auf der leitung wie ich das machen soll. hoffe ihr könnt mir helfen.
als lösung soll 333,3333 als grenzwert
ich habe diese frage in keinem andren forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Do 17.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Guck mal hier: ![[]](/images/popup.gif) KLICK
Da kannst du mal die Aufsummierung dieser einzelnen Rechtecke nachvollziehen!
Deine Funktion kannst du unten eingeben und die Grenzen a und b kannst du auch verschieben.
Ich zeig dir mal, wie das für die Untersumme geht:
Du kannst das mit dem Programm ja mitverfolgen, ich nehme die Funktion f(x)=x², a=0, b=10, n=10.
Betrachte erst einmal nur die unteren grünen Rechtecke.
Jedes Rechteck hat eine Breite von 1, da ich das Intervall von 0 bis 10 in 10 Teile aufgeteilt habe.
Die Höhe der Rechtecke ist von links nach rechts: f(1)=1²=1, f(2)=2²=4, f(3)=3²=9, ..., f(9)=9²=81.
So, wenn das erst einmal klar ist, kann man das allgemein machen!
Du teilst dein Intervall von 0 bis 10 in n Teile auf.
Damit hat dann jedes deiner Rechtecke die Breite [mm] \bruch{10}{n}.
[/mm]
Und die Höhen deiner Rechtecke sind (wieder von links nach rechts) [mm] f(\bruch{10}{n})=\bruch{100}{n²}, f(\bruch{20}{n})=\bruch{400}{n²}, f(\bruch{30}{n})=\bruch{900}{n²}, [/mm] ..., [mm] f(10-\bruch{10}{n})=\bruch{100(n-1)²}{n²}
[/mm]
Als Summe dieser Rechtecke erhälst du:
[mm] U_s=\bruch{100}{n²}*\bruch{10}{n}+\bruch{400}{n²}*\bruch{10}{n}+...+\bruch{100(n-1)²}{n²}*\bruch{10}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1000}{n³}+\bruch{4000}{n³}+...+\bruch{1000(n-1)²}{n³}
[/mm]
Nun kannst du [mm] \bruch{1000}{n³} [/mm] ausklammern.
[mm] U_s=\bruch{1000}{n³}(1+4+...+(n-1)²)
[/mm]
Um 1+4+9+...+(n-1)² zusammenzufassen, kannst du nun die Formel verwenden. Achte nur darauf, dass du nicht 1+4+9+...+n² berechnest, sondern nur bis (n-1)²!
Genau so könntest du das für die Obersumme machen.
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