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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mo 18.02.2008 | | Autor: | DeMeNt |
| Aufgabe | Quadratische Funktion
Nullstellen:
x1 = -3
x2 = 1
Flächenmaßzahl der Fläche zwischen Graph und x-Achse = 32
Funktionsgleichung? |
Frisch mit dem Thema Integralrechnung angefangen, komme eigentlich auch ganz gut mit, bis diese Aufgabe gestellt wurde.
Komme nicht auf den Lösungsweg, ist doch normalerweise einfaches Rückwärtsrechnen, hab aber keine Ahnung, wie das gemeint ist.
Bitte um Hilfe. Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Quadratische Funktion
> Nullstellen:
> x1 = -3
> x2 = 1
> Flächenmaßzahl der Fläche zwischen Graph und x-Achse = 32
> Funktionsgleichung?
> Frisch mit dem Thema Integralrechnung angefangen, komme
> eigentlich auch ganz gut mit, bis diese Aufgabe gestellt
> wurde.
> Komme nicht auf den Lösungsweg, ist doch normalerweise
> einfaches Rückwärtsrechnen, hab aber keine Ahnung, wie das
> gemeint ist.
d.h. gegeben ist eine Funktion der Art:
[mm] $f(x)=a*x^2+b*x+c$ [/mm] mit $a,b,c [mm] \in \IR$ [/mm] fest, die Du suchst. Hierbei soll $f(-3)=f(1)=0$ gelten. Daraus folgen zwei Gleichungen
(z.B. wegen $f(1)=0$:
[mm] $a*1^2+b*1+c=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
(I) $a+b+c=0$).
So, nun steht da noch etwas:
"Flächenmaßzahl der Fläche zwischen Graph und x-Achse = 32"
Also hier könnte man die Aufgabenstellung etwas kritisieren, bzw. wenn man sie nicht kritisiert, dann müsste man sich eigentlich überlegen, was den gemeint sein könnte. Also:
Der $x$-Wert des Scheitelpunktes [mm] $S(x_S, y_S)$ [/mm] wird zwischen [mm] $x_1=-3$ [/mm] und [mm] $x_2=1$ [/mm] liegen (genauer gesagt: Es wird aus Symmetriegründen [mm] $x_S=-1$ [/mm] sein). Der Scheitelpunkt kann oberhalb der $x$-Achse liegen oder unterhalb. Welcher Flächeninhalt ist hier nun gemeint? Ist es:
- nur der Flächenhalt zwischen den beiden Nullstellen?
(Was hieße das schonmal für $a$? Und müsste der Scheitelpunkt dann oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse liegen?)
- vielleicht der Flächeninhalt insgesamt, also auf ganz [mm] $\IR$?
[/mm]
- der Flächeninahlt außerhalb des durch die Nullstellen eingeschlossenen Bereiches
Sinnvoll wird wohl nur eines sein:
Gemeint ist einfach, dass
[mm] $\int_{-3}^1 [/mm] {f(x)dx}=32$
gilt. Wegen [mm] $\int_{-3}^1 {(ax^2+bx+c)dx}=\left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx\right]_{x=-3}^{x=1}$
[/mm]
erhälst Du damit eine dritte Gleichung, woraus sich dann insgesamt also drei Gleichungen für die Variablen $a,b,c$ ergeben, und ich werde Dir schon sagen können, dass sicherlich $a < 0$ sein wird 
Gruß,
Marcel
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