Integralrechnung < VK 37: Kurvendiskussionen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 |
Begründen Sie, warum es kein [mm] k\in\IR^+ [/mm] gibt, so dass [mm] \integral_{0}^{k}{(x^2+1) dx}=-1 [/mm] ist.
Begründen Sie, warum es kein [mm] a,b\in\IR [/mm] gibt, so dass [mm] \integral_{a}^{b}{(x^2+1) dx}=-1 [/mm] ist, für a<b
|
| Aufgabe 2 |
Bestimmen sie die Konstane k so, dass jeweils gilt:
a) [mm] \integral_{2}^{4}{(kx) dx}=9 [/mm]
b) [mm] \integral_{k}^{3}{(\bruch{1}{3}x^2) dx}=6
[/mm]
c) [mm] \integral_{0}^{k}{(x-\bruch{1}{k}) dx}=6
[/mm]
|
| Aufgabe 3 |
Bestimmen Sie die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen [mm] f(x)=x^2-2x+1 [/mm] und g(x)=-3x+7.
|
| Aufgabe 4 |
Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g mit den Gleichungen [mm] f(x)=4-x^2 [/mm] und [mm] g(x)=x^2+2x [/mm] umschlossen wird.
|
| Aufgabe 5 |
Begründen sie geometrisch (ach rechnerisch war ne Freude hier im Forum ;) ):
a) [mm] \integral_{-a}^{a}{(f(x) dx}=0, [/mm] wenn f punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
b) [mm] \integral_{-a}^{a}{(f(x) dx}=2*\integral_{a}^{0}{(f(x) dx}, [/mm] wenn f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
|
| Aufgabe 6 |
Geben Sie aufgrund von geometrischen Überlegungen den Wert von [mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx} [/mm] an.
|
|
|
| |
|
Aufgabe 1
a) Beim Integral [mm] \integral_{0}^{k}{(x^2+1) dx}=-1 [/mm] ist die Stammfunktion F(x)= [mm] \bruch{1}{3}x^3+x
[/mm]
Da F(k) - F(0) gerechnet werden muss, kommt für positive Werte von k immer ein positives Ergebnis heraus. Für die Lösung -1 muss k negativ sein ! (k liegt etwa bei minus 0.82).
b) wenn a<b ist und b eine positive Zahl ist, dann ist F(b) - F(a) auch positiv und niemals -1.
wenn a,b negative Zahlen sind und a<b gilt, dann ist das Ergebnis ebenfalls positiv wegen -(-) !
Aufgabe 2
Bestimmen Sie die Konstante
a) [mm] \integral_{2}^{4}{(kx) dx}=9
[/mm]
es gilt der Hauptsatz: [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x) dx}=F(b) [/mm] - F(a)
[mm] \integral_{2}^{4}{(kx) dx}=9 [/mm] kann man auch als Stammfunktion schreiben [mm] [\bruch{k}{2}x^2]^4_2=9
[/mm]
[mm] \bruch{k}{2}*b^2 [/mm] - [mm] \bruch{k}{2}*a^2 [/mm] = 9 ergibt nach Einsetzen de Werte k = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
b) [mm] \integral_{k}^{3}{(\bruch{1}{3}x^2) dx}=6 [/mm] = [mm] [\bruch{1}{9}x^3]^3_k
[/mm]
wie in Aufgabe a) werden die Werte für a und b eingesetzt. Man erhält k = -3
c) [mm] \integral_{0}^{k}{(x-\bruch{1}{k}) dx}=6 [/mm] = [mm] [\bruch{x^2}{2}-\bruch{x}{k}]^k_0
[/mm]
man erhält [mm] k^2=14 [/mm] . Da uns nur der positive Wert von k interessiert, ist k = [mm] \wurzel{14}
[/mm]
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen [mm] f(x)=x^2-2x+1 [/mm] und g(x)=-3x+7
Die erste Funktion beschreibt eine Parabel, die ihren Tiefpunkt bei P (1|0) hat und nach oben offen ist. Die zweite Funktion beschreibt eine Gerade, die die y-Achse bei S (0|7) schneidet. Den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse erhält man, indem man g(x)=0 setzt. Man erhält [mm] x_0=\bruch{7}{3}.
[/mm]
Gesucht wird die Fläche im 1.Quadranten wischen Gerade und Parabel.
Bevor wir die Integrale berechnen, berechnen wir den oberen Intervallpunkt, in diesem Fall den Schnittpunkt beider Funktionen.
Wir setzen f(x)=g(x) und erhalten x=2 und Q (2|1), (Anm.: es gibt einen zweiten x-Wert, den wir hier aber nicht benötigen.)
Jetzt berechnen wir die Fläche, die unterhalb der Gerade im 1.Quadranten liegt.
[mm] \integral_{0}^{2}{f(x) dx}=\integral_{0}^{2}{(-3x+7) dx} [/mm] Die Stammfunktion von f(x)heißt F(x) und ist in diesem Fall [mm] F(x)=-\bruch{3}{2}x^2+7x, [/mm] das Integral kann man auch schreiben als [mm] [-\bruch{3}{2}x^2+7x]^2_0
[/mm]
wenn man die Werte einsetzt, erhält man als Ergebnis: 8
Nun ermittelt man noch die Fläche unterhalb der Parabel (ebenfalls im 1.Quadranten) im Intervall 0 bis 2 und zieht das Ergebnis von 8 ab !
[mm] \integral_{0}^{2}{f(x) dx}=\integral_{0}^{2}{(x^2-2x+1) dx}.
[/mm]
ich schreibe es gleich mit der Stammfunktion (F(x)): [mm] [\bruch{x^3}{3}-x^2 +x]^2_0.
[/mm]
Wie in den Aufgaben zuvor setze ich ein und erhalte [mm] F(b)-F(a)=\bruch{2}{3}
[/mm]
Jetzte subtrahiere ich: 8 - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{22}{3}
[/mm]
Dies ist die gesuchte Fläche.
Aufgabe 4
Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g mit den Gleichungen [mm] f(x)=4-x^2 [/mm] und [mm] g(x)=x^2+2x [/mm] umschlossen wird.
Wie in Aufgabe 3 berechne ich den Schnittpunkt beider Parabeln (übrigens ist f nach oben und g nach unten offen, es gibt 2 Schnittpunkte, die gleichzeitig das Intervall der beiden für die Berechnung der gemeinsamen Fläche zu benutzenden Integrale sind.)
Ich setze f(x)=g(x) und erhalte [mm] 2x^2+2x-4=0 [/mm] und für [mm] x_1 [/mm] = 1 und [mm] x_2 [/mm] =-2
Die Integrale lauten wie folgt:
[mm] \integral_{-2}^{1}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{-2}^{1}{g(x) dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{-2}^{1}{(4-x^2) dx}- \integral_{-2}^{1}{(x^2+2x) dx}= [/mm] umgeschrieben mit den Stammfunktionen F(x) - G(x)
[mm] [4x-\bruch{1}{3}x^3]^1_{-2} [/mm] - [mm] [\bruch{1}{3}x^3+x^2]^1_{-2}
[/mm]
Nach Einsetzen der Werte a (=-2) und b (=1) erhält man: 9
Dies ist die gesuchte Fläche.
Aufgabe 5
Begründen Sie geometrisch
a) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0 [/mm] wenn f punktsymmetrisch zum Ursprung ist (es gilt f(x)=-f(-x))
Durch die Punktsymmetrie ergeben sich für die jeweiligen x- und y-Werte jeweils gleiche Beträge (=Wert ohne Vorzeichen), insofern sind natürlich die positiven und negativen Flächen gleich: Für alle Flächen gilt [mm] [A]^b_a+[B]^{-b}_{-a} [/mm] =0, da |a|=|-a| und |b|=|-b|
b) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=2*\integral_{a}^{0}{f(x) dx} [/mm] wenn f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
wie in Aufgabe a) sind die Beträge, in diesem Fall die von |x| und |-x|, entscheidend. Bei positiven x erhält man einen Flächenwert A. Für negative x erhält man einen gleichgroßen Flächenwert B, es gilt A=B, also ist A+B auch doppelt so groß wie A und B, hat also den Wert 2.
Dies gilt dann auch für die Integrale.
Aufgabe 6
Geben Sie aufgrund von geometrischen Überlegungen den Wert von [mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx} [/mm] an.
Die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{1-x^2} [/mm] beschreibt einen Kreis mit dem Radius 1 mit dem Ursprung als Mittelpunkt !
Da die Intervallwerte -1 und 1 die äußeren x-Werte des Kreises beschreiben, dürfte die Formel für die Kreisfläche analog gelten [mm] A=\pi [/mm] * [mm] r^2.
[/mm]
Die Fläche des Kreises hätte in diesem Fall eigentlich den Wert [mm] \pi. [/mm] Das Integral im benutzten Intervall müsste aber den Wert Null ergeben,da der obere Halbkreis im positiven und der untere Halbkreis im negativen Wertebereich liegt.
Schachschorsch
|
|
|
| |
|
> Aufgabe 1
>
> a) Beim Integral [mm]\integral_{0}^{k}{(x^2+1) dx}=-1[/mm] ist die
> Stammfunktion F(x)= [mm]\bruch{1}{3}x^3+x[/mm]
An dieser Stelle schonmal der Hinweise, dass allgemeine Stammfunktionen immer mit +C angegeben werden, da jede beliebige Zahl beim Ableiten ja wegfällt und die Stammfunktion somit strenggenommen eine ganze Funktion darstellt (oder Klasse?). Daher wird eine Stammfunktion für f(x) immer am Ende mit +C geschrieben, also:$
$ [mm] F(x)=\bruch{1}{3}x^3+x+C [/mm] $
>
> Da F(k) - F(0) gerechnet werden muss, kommt für positive
> Werte von k immer ein positives Ergebnis heraus. Für die
> Lösung -1 muss k negativ sein ! (k liegt etwa bei minus
> 0.82).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Rechnerische Lösung ist ok. Da k nur positive Werte annehmen darf! (siehe Voraussetzung), wird jedes [mm] x^3 [/mm] und jedes x positiv und damit auch jeder Gesamtbetrag.
Anschaulich hätte man auch so argumentieren können:
Das Integral gilt nur für den ersten Quadranten, die Funktion ist eine Parabel. Eine Parabel hat die Eigenschaft, kontinuierlich, also streng monoton wachsend nach [mm] +\infty [/mm] zu verlaufen! Da k nur positive Werte annehmen darf, geht es nur um die Fläche von 0 bis k. Da die Funktion aber nur im positiven verläuft, kann für ein Integral von 0 bis k gar nichts anderes als ein positiver Wert rauskommen.
>
> b) wenn a<b ist und b eine positive Zahl ist, dann ist F(b)
> - F(a) auch positiv und niemals -1.
> wenn a,b negative Zahlen sind und a<b gilt, dann ist
> das Ergebnis ebenfalls positiv wegen -(-) !
richtig, bzw. siehe Erklärung oben rein anschaulich ^^
>
> Aufgabe 2
>
> Bestimmen Sie die Konstante
>
> a) [mm]\integral_{2}^{4}{(kx) dx}=9[/mm]
>
> es gilt der Hauptsatz: [mm]\integral_{a}^{b}{(f(x) dx}=F(b)[/mm] -
> F(a)
>
> [mm]\integral_{2}^{4}{(kx) dx}=9[/mm] kann man auch als
> Stammfunktion schreiben [mm][\bruch{k}{2}x^2]^4_2=9[/mm]
Wollte nur gesagt haben, dass man mit den Begriffen aufpassen muss, denn es gibt einen Unterschied zwischen Stammfunktion und bestimmtem Integral. Eine Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen für ein bestimmtes Intervall, ein bestimmtes Integral hat aber nur eine Darstellungsform, da das C immer rausfällt. Wollte es nur gesagt haben.
>
> [mm]\bruch{k}{2}*b^2[/mm] - [mm]\bruch{k}{2}*a^2[/mm] = 9 ergibt nach
> Einsetzen der Werte k = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{k}^{3}{(\bruch{1}{3}x^2) dx}=6[/mm] =
> [mm][\bruch{1}{9}x^3]^3_k[/mm]
>
> wie in Aufgabe a) werden die Werte für a und b eingesetzt.
> Man erhält k = -3
>
> c) [mm]\integral_{0}^{k}{(x-\bruch{1}{k}) dx}=6[/mm] =
> [mm][\bruch{x^2}{2}-\bruch{x}{k}]^k_0[/mm]
>
> man erhält [mm]k^2=14[/mm] . Da uns nur der positive Wert von k
> interessiert, ist k = [mm]\wurzel{14}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") haha hab ich dich, bei einer Quadratwurzel entstehen immer zwei Lösungen: [mm] \pm [/mm] ^^
Bzw. wieso sollte uns nur der positive Wert interessieren? In der Aufgabe steht nicht, das k limitiert oder eingeschränkt ist, also gilt k für [mm] \in \R, [/mm] damit auch für negative Zahlen. Das Integral hat dann oben eben -k stehen, was gleichbedeutend damit ist:
$ [mm] \integral_{0}^{-k}{f(x) dx}=-\integral_{-k}^{0}{f(x) dx} [/mm] $
Die Grenzen können also beliebig vertauscht werden, wenn man berücksichtigt, dass der Inhalt dann ein Vorzeichenwechsel erfährt
>
> Aufgabe 3
>
> Bestimmen Sie die Fläche zwischen den Graphen der
> Funktionen [mm]f(x)=x^2-2x+1[/mm] und g(x)=-3x+7
>
> Die erste Funktion beschreibt eine Parabel, die ihren
> Tiefpunkt bei P (1|0) hat und nach oben offen ist.
nicht ganz richtig, du kannst [mm] f(x)=(x-1)^2 [/mm] schreiben. Wäre sie nach oben um +1 Verschoben, müsste es aber [mm] f(x)=x^2+1 [/mm] oder [mm] (x+0)^2+1 [/mm] sein, die 1 steht jedoch in der Klammer und damit ist die Parabel mit ihrem Scheitelpunkt auf der x-Achse, sie ist jedoch um +1 nach rechts verschoben :)
> Die
> zweite Funktion beschreibt eine Gerade, die die y-Achse bei
> S (0|7) schneidet. Den Schnittpunkt der Geraden mit der
> x-Achse erhält man, indem man g(x)=0 setzt. Man erhält
> [mm]x_0=\bruch{7}{3}.[/mm]
> Gesucht wird die Fläche im 1.Quadranten wischen Gerade und
> Parabel.
Wieso nur im ersten Quadranten? Entscheidend sind doch die Schnittstellen der beiden Funktionen! Wenn du beide Graphen in ein Koordinatensystem einzeichnest, siehst du, dass sie sich zuerst im 2. Quadranten schneiden und dann später im ersten. Bei solchen Aufgaben sind immr die Schnittstellen der Angelpunkt, die später dann ja die Integrationsgrenzen werden. Im nächsten Schritt tust du es ja auch ^^ wie immer....erst schreibst du was "falsches" und machst es dann trotzdem richtig, manno
>
> Bevor wir die Integrale berechnen, berechnen wir den oberen
> Intervallpunkt, in diesem Fall den Schnittpunkt beider
> Funktionen.
>
> Wir setzen f(x)=g(x) und erhalten x=2 und Q (2|1), (Anm.:
> es gibt einen zweiten x-Wert, den wir hier aber nicht
> benötigen.)
Jetzt machst du doch etwas falsch, offenbar hast du die Aufgabe falsch verstanden, stimmt's? Denn du willst ja die untere Grenze mit 0 wählen, das ist aber falsch! Die Frage war doch, wie groß die Fläche ist, die von den Graphen EINGESCHLOSSEN wird, also musst du beide Schnittstellen berechnen und auch als Integrationsgrenzen verwenden, und nicht die 0. Hast du bestimmt einfach überlesen :) Lösung fürs Integral=20,83
>
> Jetzt berechnen wir die Fläche, die unterhalb der Gerade im
> 1.Quadranten liegt.
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(x) dx}=\integral_{0}^{2}{(-3x+7) dx}[/mm]
> Die Stammfunktion von f(x)heißt F(x) und ist in diesem Fall
> [mm]F(x)=-\bruch{3}{2}x^2+7x,[/mm] das Integral kann man auch
> schreiben als [mm][-\bruch{3}{2}x^2+7x]^2_0[/mm]
>
> wenn man die Werte einsetzt, erhält man als Ergebnis: 8
>
> Nun ermittelt man noch die Fläche unterhalb der Parabel
> (ebenfalls im 1.Quadranten) im Intervall 0 bis 2 und zieht
> das Ergebnis von 8 ab !
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{f(x) dx}=\integral_{0}^{2}{(x^2-2x+1) dx}.[/mm]
>
> ich schreibe es gleich mit der Stammfunktion (F(x)):
> [mm][\bruch{x^3}{3}-x^2 +x]^2_0.[/mm]
>
> Wie in den Aufgaben zuvor setze ich ein und erhalte
> [mm]F(b)-F(a)=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Jetzte subtrahiere ich: 8 - [mm]\bruch{2}{3}[/mm] = [mm]\bruch{22}{3}[/mm]
>
> Dies ist die gesuchte Fläche.
>
> Aufgabe 4
>
> Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen der
> Funktionen f und g mit den Gleichungen [mm]f(x)=4-x^2[/mm] und
> [mm]g(x)=x^2+2x[/mm] umschlossen wird.
>
> Wie in Aufgabe 3 berechne ich den Schnittpunkt beider
> Parabeln (übrigens ist f nach oben und g nach unten offen,
> es gibt 2 Schnittpunkte, die gleichzeitig das Intervall der
> beiden für die Berechnung der gemeinsamen Fläche zu
> benutzenden Integrale sind.)
>
> Ich setze f(x)=g(x) und erhalte [mm]2x^2+2x-4=0[/mm] und für [mm]x_1[/mm] = 1
> und [mm]x_2[/mm] =-2
>
> Die Integrale lauten wie folgt:
>
> [mm]\integral_{-2}^{1}{f(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{-2}^{1}{g(x) dx}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{-2}^{1}{(4-x^2) dx}- \integral_{-2}^{1}{(x^2+2x) dx}=[/mm]
> umgeschrieben mit den Stammfunktionen F(x) - G(x)
>
> [mm][4x-\bruch{1}{3}x^3]^1_{-2}[/mm] - [mm][\bruch{1}{3}x^3+x^2]^1_{-2}[/mm]
>
> Nach Einsetzen der Werte a (=-2) und b (=1) erhält man: 9
>
> Dies ist die gesuchte Fläche.
>
> Aufgabe 5
>
> Begründen Sie geometrisch
>
> a) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0[/mm] wenn f punktsymmetrisch zum
> Ursprung ist (es gilt f(x)=-f(-x))
>
> Durch die Punktsymmetrie ergeben sich für die jeweiligen x-
> und y-Werte jeweils gleiche Beträge (=Wert ohne
> Vorzeichen), insofern sind natürlich die positiven und
> negativen Flächen gleich: Für alle Flächen gilt
> [mm][A]^b_a+[B]^{-b}_{-a}[/mm] =0, da |a|=|-a| und |b|=|-b|
>
> b) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=2*\integral_{a}^{0}{f(x) dx}[/mm]
> wenn f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
>
> wie in Aufgabe a) sind die Beträge, in diesem Fall die von
> |x| und |-x|, entscheidend. Bei positiven x erhält man
> einen Flächenwert A. Für negative x erhält man einen
> gleichgroßen Flächenwert B, es gilt A=B, also ist A+B auch
> doppelt so groß wie A und B, hat also den Wert 2.
> Dies gilt dann auch für die Integrale.
>
> Aufgabe 6
>
> Geben Sie aufgrund von geometrischen Überlegungen den Wert
> von [mm]\integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx}[/mm] an.
>
> Die Funktion [mm]f(x)=\wurzel{1-x^2}[/mm] beschreibt einen Kreis mit
> dem Radius 1 mit dem Ursprung als Mittelpunkt !
>
> Da die Intervallwerte -1 und 1 die äußeren x-Werte des
> Kreises beschreiben, dürfte die Formel für die Kreisfläche
> analog gelten [mm]A=\pi[/mm] * [mm]r^2.[/mm]
>
> Die Fläche des Kreises hätte in diesem Fall eigentlich den
> Wert [mm]\pi.[/mm] Das Integral im benutzten Intervall müsste aber
> den Wert Null ergeben,da der obere Halbkreis im positiven
> und der untere Halbkreis im negativen Wertebereich liegt.
>
> Schachschorsch
|
|
|
| |
|
zu Aufgabe 1:
das mit der Stammfunktion und dem +C hatte ich nicht gewusst, ist natürlich logisch !
Nennt man denn den Ausdruck [mm] [\bruch{k}{2}x^2]^4_2=9 [/mm] bestimmtes Integral oder Intervall ? Man kann das doch so schreiben mit den eckigen Klammern und den Intervallwerten, oder ?
zu Aufgabe 2:
c) Die Lösung ist also k= [mm] \pm \wurzel{14}
[/mm]
zu Aufgabe 3:
Zur Form der Parabel wollte ich eigentlich nur deren Aussehen angeben (...nach oben offen oder geöffnet...)
tja, hatte mich nur auf den 1.Quadranten "verlassen"...den 2.Schnittpunkt bei x=-3 hätte ich als unteren Intervallwert nehmen müssen ! Beim Nachrechnen kam ich dann auch auf den Wert: [mm] \bruch{125}{6}= [/mm] 20.83
Was sagtst Du denn zu Aufgaben 4, 5 und 6 ?
Soll ich Die Fehler in meiner 1.Ausgabe verbessern ?
Ich bedanke mich auch bei Dir für Deine hilfreichen Erklärungen !
Schachschorsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Adamantin |
> zu Aufgabe 1:
>
> das mit der Stammfunktion und dem +C hatte ich nicht
> gewusst, ist natürlich logisch !
>
> Nennt man denn den Ausdruck [mm][\bruch{k}{2}x^2]^4_2=9[/mm]
> bestimmtes Integral oder Intervall ? Man kann das doch so
> schreiben mit den eckigen Klammern und den Intervallwerten,
> oder ?
Das ist ein bestimmtes Integral! Bestimmte Integrale sind alle Integrale mit festen Grenzen! Ein unbestimmtes Integral ist einfach das Integralzeichen ohne Integrationsgrenzen und damit F(x) mit allen +C Werten aber da bin ich mir etwas unsicher mit dem Begriff der Stammfunktion, denn auch mit den eckigen Klammern ist es immer noch eine STammfunktion, auf jeden Fall ist es ein bestimmtes Integral! Ja kann man und muss man so schreiben :) Die Eckigen Klammern geben die Stammfunktion an und die Zahlen oben und unten die jeweiligen Grenzen!
>
> zu Aufgabe 2:
>
> c) Die Lösung ist also k= [mm]\pm \wurzel{14}[/mm]
>
> zu Aufgabe 3:
>
> Zur Form der Parabel wollte ich eigentlich nur deren
> Aussehen angeben (...nach oben offen oder geöffnet...)
>
> tja, hatte mich nur auf den 1.Quadranten "verlassen"...den
> 2.Schnittpunkt bei x=-3 hätte ich als unteren Intervallwert
> nehmen müssen ! Beim Nachrechnen kam ich dann auch auf den
> Wert: [mm]\bruch{125}{6}=[/mm] 20.83
Juhu :)
>
> Was sagtst Du denn zu Aufgaben 4, 5 und 6 ?
Lass mir bitte etwas Zeit, wollte nur erst einmal soweit durchgehen, du schreibst ja immer so viel :) Dafür mach ich dann ne neue Antwort, ja?
>
> Soll ich Die Fehler in meiner 1.Ausgabe verbessern ?
Wie du möchtest, musst du nicht, wenn du versprichst, sie nie wieder zu machen :) Da andere später das hier nachlesen, ist es vielleicht besser, den Fehler zu lassen, damit es keine Verwirrung gibt oder du schreibst drüber (Geändert) oder sowas :)
>
> Ich bedanke mich auch bei Dir für Deine hilfreichen
> Erklärungen !
Danke, Danke ich tue mein Bestes, ist ja alles zum Wohle deines Sohnes ;)
>
> Schachschorsch
>
>
|
|
|
| |
|
Weiter gehts
> Aufgabe 4
>
> Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen der
> Funktionen f und g mit den Gleichungen [mm]f(x)=4-x^2[/mm] und
> [mm]g(x)=x^2+2x[/mm] umschlossen wird.
>
> Wie in Aufgabe 3 berechne ich den Schnittpunkt beider
> Parabeln (übrigens ist f nach oben und g nach unten offen,
> es gibt 2 Schnittpunkte, die gleichzeitig das Intervall der
> beiden für die Berechnung der gemeinsamen Fläche zu
> benutzenden Integrale sind.)
>
> Ich setze f(x)=g(x) und erhalte [mm]2x^2+2x-4=0[/mm] und für [mm]x_1[/mm] = 1
> und [mm]x_2[/mm] =-2
> Die Integrale lauten wie folgt:
>
> [mm]\integral_{-2}^{1}{f(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{-2}^{1}{g(x) dx}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{-2}^{1}{(4-x^2) dx}- \integral_{-2}^{1}{(x^2+2x) dx}=[/mm]
> umgeschrieben mit den Stammfunktionen F(x) - G(x)
Man kann aber auch beide Funktionen unter ein Integral schreiben, auch das ist möglich :) Außerdem ist es am Anfang gut, wenn man immer die obere Funktion zuerst nimmt und dann von der unteren abzieht. Später kann man einfach die beiden Funktionen in Betragstriche schreiben und hat dann die richtige Flächel.
> [mm][4x-\bruch{1}{3}x^3]^1_{-2}[/mm] - [mm][\bruch{1}{3}x^3+x^2]^1_{-2}[/mm]
>
> Nach Einsetzen der Werte a (=-2) und b (=1) erhält man: 9
>
> Dies ist die gesuchte Fläche.
Rechnung stimmt, Ergebnis hoffe ich dann auch :P Nein nein 9 ist korrekt!
>
> Aufgabe 5
>
> Begründen Sie geometrisch
>
> a) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0[/mm] wenn f punktsymmetrisch zum
> Ursprung ist (es gilt f(x)=-f(-x))
>
> Durch die Punktsymmetrie ergeben sich für die jeweiligen x-
> und y-Werte jeweils gleiche Beträge (=Wert ohne
> Vorzeichen), insofern sind natürlich die positiven und
> negativen Flächen gleich: Für alle Flächen gilt
> [mm][A]^b_a+[B]^{-b}_{-a}[/mm] =0, da |a|=|-a| und |b|=|-b|
Achtung, falsche Grenzen sonst gibt die Aufgabe ja keinen Sinn, denn für a und b gilt die Aussage nicht! Nur für -a und a. Aufgrund der Punktsymmetrie gilt dann f(a)=-f(-a). Die Flächen sind dann links und rechts vom Ursprung identisch, und da das Integral von -a bis a geht, wird einmal die negative und einmal die positive Fläche zusammenaddiert und das ergibt dann 0 :)
>
> b) [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=2*\integral_{a}^{0}{f(x) dx}[/mm]
> wenn f achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
>
> wie in Aufgabe a) sind die Beträge, in diesem Fall die von
> |x| und |-x|, entscheidend. Bei positiven x erhält man
> einen Flächenwert A. Für negative x erhält man einen
> gleichgroßen Flächenwert B, es gilt A=B, also ist A+B auch
> doppelt so groß wie A und B, hat also den Wert 2.
> Dies gilt dann auch für die Integrale.
siehe oben. Auch hier waren die Grenzen a und -a :)
Ansonsten stimmt die Erklärung aber :)
>
> Aufgabe 6
>
> Geben Sie aufgrund von geometrischen Überlegungen den Wert
> von [mm]\integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx}[/mm] an.
>
> Die Funktion [mm]f(x)=\wurzel{1-x^2}[/mm] beschreibt einen Kreis mit
> dem Radius 1 mit dem Ursprung als Mittelpunkt !
Das ist die entscheidende Erkenntnis hier!
>
> Da die Intervallwerte -1 und 1 die äußeren x-Werte des
> Kreises beschreiben, dürfte die Formel für die Kreisfläche
> analog gelten [mm]A=\pi[/mm] * [mm]r^2.[/mm]
Diese Formel gilt immer, egal welche Flächen wir uns ansehen :)
Will ich ein Integral für eine Kurve bestimmen, die gar nicht in dem Bereich definiert ist, habe ich Pech gehabt :) Wie gesagt beachte die Wurzel, die Funktion y ist ja nur für Werte zwischen +1 und -1 definiert! Und die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises gilt, wie gesagt, immer
>
> Die Fläche des Kreises hätte in diesem Fall eigentlich den
> Wert [mm]\pi.[/mm] Das Integral im benutzten Intervall müsste aber
> den Wert Null ergeben,da der obere Halbkreis im positiven
> und der untere Halbkreis im negativen Wertebereich liegt.
Leider falsch, wahrscheinlich hast du dir den Kreis falsch vorgestellt, der Halbkreis geht von -1 bei 0 zu 0/1 und dann zu 1/0. Der Halbkreis liegt also im 1. und 2. Quadranten im positiven Bereich. Es ist exakt ein Halbkreis also ist sein Flächeninhalt doch auf jeden Fall die Hälfte eines ganzen Kreises und damit [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Du hast wahrscheinlich aufgrund deiner Aussage, ein Halbkreis sei im negativen Bereich, gedacht, die Funktion beschriebe einen ganzen Kreis? Das ist aber leider nicht möglich, denn eine Funktion darf niemals für einen x-Wert zwei y-Werte haben! Daher geht nur ein Halbkreis, der auf der x-Achse liegt, entweder ganz im positiven oder ganz im negativen Bereich. Das ist doch auch der Fall bei der Umkehrfunktion von [mm] x^2. x^2 [/mm] is eine korrekte Funktion, denn jeder x-Wert hat nur einen y-Wert. Spiegeln wir diese Funktion aber, so würden wir theoretisch eine Funktion erhalten, die bei einem x-Wert zwei y-Werte hätte, das geht jedoch nicht .Daher erhälst du auch mathematisch eine Wurzelfunktion, die dann eben nur für den 1. Quadranten definiert ist.
|
|
|
| |
|
zu Aufgabe 4:
dass man beide Funktionen unter ein Integral schreiben kann, hatte ich schon vermutet, da die Intervallwerte gleich waren...
zu Aufgabe 5a) und b):
in beiden Fällen bedeutet dies dann, dass b=-a sein muss, ! Dies hatte ich übersehen !
zu Aufgabe 6:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx} [/mm] beschreibt natürlich nur den "oberen" Halbkreis, der "untere" wäre dann mit
[mm] \integral_{-1}^{1}{-\wurzel{1-x^2} dx} [/mm] beschrieben, oder ?
Dass [mm] \bruch {\pi}{2} [/mm] die Fläche eines Halbkreises mit dem Radius 1 ist, ist klar !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 So 26.10.2008 | | Autor: | Adamantin |
> zu Aufgabe 4:
>
> dass man beide Funktionen unter ein Integral schreiben
> kann, hatte ich schon vermutet, da die Intervallwerte
> gleich waren...
hab ich mir gedacht, wollte es nur gesagt haben ;)
>
> zu Aufgabe 5a) und b):
>
> in beiden Fällen bedeutet dies dann, dass b=-a sein muss, !
> Dies hatte ich übersehen !
kein Problem, passiert, deine Überlegungen waren ja richtig ;)
>
> zu Aufgabe 6:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx}[/mm] beschreibt natürlich
> nur den "oberen" Halbkreis, der "untere" wäre dann mit
> [mm]\integral_{-1}^{1}{-\wurzel{1-x^2} dx}[/mm] beschrieben, oder
> ?
So ist es, bzw das Integral brauchst du nicht, also eben -f(x) wäre dann der untere Halbkreis, im negativen, man kann eben leider nur jeweils einen Halbkreis darstellen und auch nur horizontal, ein vertikaler Halbkreis ist nicht möglich (natürlich vektoriell schon oder mit Rotationsformeln etc...
)
>
> Dass [mm]\bruch {\pi}{2}[/mm] die Fläche eines Halbkreises mit dem
> Radius 1 ist, ist klar !
weiß ich doch, hatte mich bei dir mit dem [mm] \pi [/mm] auch verlesen du meintest ja die Fläche für den Gesamtkreis. Jedenfalls sind wir uns dann ja einig, dass die gesuchte Fläche jedenfalls [mm] \pi/2 [/mm] ist :)
|
|
|
|
