Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
ich habe eine Aufgabe wo ein Integral berechnet wird. Das Ergebnis hab ich schon mit maxima kontrolliert, aber mir ist ein Schritt unklar. Ich zeige es mal...
[mm] $f(x)=e^{tan(x)}+(tan^2x)*e^{tan(x)}$
[/mm]
[mm] $f(x)=e^{tan(x)}*(1+tan^2x)$
[/mm]
Substitution:
$u=tan(x) [mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}=1+tan^2x\Rightarrowdx=\bruch{du}{1+tan^2x}$
[/mm]
$ [mm] \integral_{}^{} {e^{tan(x)} * (1+tan^2x) dx}= \integral_{}^{} {e^u*(1+(u)^2)*\bruch{du}{1+tan^2x}}$
[/mm]
Das Ergebnis dieser Integration sollte [mm] e^{tan(x)} [/mm] sein. Ich sehe zwar den Weg dort hin, aber bin mit formal beim Rücksubstituieren nicht sicher. Wenn ich erstmal nur das [mm] (u)^2 [/mm] rücksubstituiere, dann kann ich den gesamten Teil wegkürzen und es bleibt $ [mm] \integral_{}^{} {e^u} [/mm] dx$. Das stimmt ja dann nach Auflösen und Rücksubstituieren des Rests mit dem erwarteten Ergebnis überein.
Meine Frage ist nur ob es ein zulässiges Vorgehen ist nur Teile zu Rücksubstituieren, auch vor dem Auflösen des Integrals und dann den Rest zu einem späteren Zeitpunkt?
Oder geht man die Lösung hier ganz anders an?
Gruß
Andreas
|
|
| |
|
Hallo Andreas
Man darf nicht nur ein teil substituieren. Entweder taucht nur [mm]u[/mm] auf oder nur [mm]x[/mm]:
[mm]\integral e^{\tan x}(1+\tan^{2} x )\mathrm{d}x[/mm]
[mm]u=\tan x[/mm]
[mm]\mathrm{d}u=(1+\tan^{2} x) \mathrm{d}x[/mm]
[mm]\mathrm{d}x=\bruch{\mathrm{d}u}{1+\tan^{2} x}=\bruch{\mathrm{d}u}{1+u^{2}}[/mm]
[mm]\integral e^{\tan x}(1+\tan^{2} x )\mathrm{d}x=\integral e^{u}\mathrm{d}u=e^{u}=e^{\tan x}[/mm]
Schöne Grüße, 
Ladis
|
|
|
| |
|
Hi,
danke für die Erklärung.
> Man darf nicht nur ein teil substituieren. Entweder taucht
> nur [mm]u[/mm] auf oder nur [mm]x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:
War nur etwas verwirrt, weil hier ein Beispiel war wo u und x in einer Gleichung waren. Aber vielleicht ist es hier ein anderer Fall, weil sich das x wegkürzt?
Beispiel:
$ \integral_{}^{} {x*cos(x^2) dx}$
$u=x^2 \Rightarrow \bruch{du}{dx} \Rightarrow dx=}\bruch{du}{2x}$
$ \integral_{}^{} {x*cos(u)\bruch{du}{2x}}=\bruch{1}{2}*\integral_{}^{} {cos(u) du}=\bruch{1}{2}*sin(u)+C$
$\bruch{1}{2}*sin(x^2)+C$
> [mm]\integral e^{\tan x}(1+\tan^{2} x )\mathrm{d}x[/mm]
>
> [mm]u=\tan x[/mm]
> [mm]\mathrm{d}u=(1+\tan^{2} x) \mathrm{d}x[/mm]
>
> [mm]\mathrm{d}x=\bruch{\mathrm{d}u}{1+\tan^{2} x}=\bruch{\mathrm{d}u}{1+u^{2}}[/mm]
Ah, also muss man hier in diesem Schritt auch wieder das $tan^2x$ durch [mm] u^2 [/mm] ersetzen.
> [mm]\integral e^{\tan x}(1+\tan^{2} x )\mathrm{d}x=\integral e^{u}\mathrm{d}u=e^{u}=e^{\tan x}[/mm]
Gruß
Andreas
|
|
|
| |
|
Gratuliere, du hast es richtig verstanden!
Ladis
|
|
|
|
