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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 15.08.2009 | | Autor: | hamma |
servus, mein ergebnis stimmt an einer stelle nicht und würde gerne wissen was ich falsch gemacht hab.
mein ergebnis lautet: -4ln(x-1)+4arctan(2x)+C
mein Integralrechner zeigt: -4ln(x-1)+2arctan(2x)+C
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{-4x^2+x-2}{x^3-x^2+\bruch{x}{4}-\bruch{1}{4}} dx}
[/mm]
Linerarfaktorzerlegung:
[mm] (x+1)(x^2+\bruch{1}{4})
[/mm]
Partialbruch:
[mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{x^2+\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] -4x^2+x-2 [/mm] = [mm] A(x^2+\bruch{1}{4})+(Bx+C)(x-1)
[/mm]
[mm] -4x^2+x-2 [/mm] = [mm] (A+B)x^2+(C-B)x-C+\bruch{1}{4}A
[/mm]
A=-4
-4=(A+B) B=0
1=(C-B) C=1
So lautet mein Integral:
[mm] -4\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x-1} dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2+\bruch{1}{4}} dx}
[/mm]
* [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2+\bruch{1}{4}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\bruch{1}{4}(4x^2+1)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{4}{4x^2+1} dx} =4\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(2x)^2+1} dx}
[/mm]
= -4ln(x-1)+4arctan(2x)+C
so, die konstante 4 bei arctan(2x) sollte eine 2 sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Sa 15.08.2009 | | Autor: | abakus |
> servus, mein ergebnis stimmt an einer stelle nicht und
> würde gerne wissen was ich falsch gemacht hab.
>
> mein ergebnis lautet: -4ln(x-1)+4arctan(2x)+C
> mein Integralrechner zeigt: -4ln(x-1)+2arctan(2x)+C
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{-4x^2+x-2}{x^3-x^2+\bruch{x}{4}-\bruch{1}{4}} dx}[/mm]
>
> Linerarfaktorzerlegung:
> [mm](x+1)(x^2+\bruch{1}{4})[/mm]
>
>
> Partialbruch:
>
> [mm]\bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{x^2+\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]-4x^2+x-2[/mm] = [mm]A(x^2+\bruch{1}{4})+(Bx+C)(x-1)[/mm]
> [mm]-4x^2+x-2[/mm] = [mm](A+B)x^2+(C-B)x-C+\bruch{1}{4}A[/mm]
>
> A=-4
>
> -4=(A+B) B=0
> 1=(C-B) C=1
>
>
> So lautet mein Integral:
>
> [mm]-4\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x-1} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2+\bruch{1}{4}} dx}[/mm]
>
> * [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2+\bruch{1}{4}} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\bruch{1}{4}(4x^2+1)} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{4}{4x^2+1} dx} =4\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(2x)^2+1} dx}[/mm]
>
> = -4ln(x-1)+4arctan(2x)+C
Hallo,
hier warst du einen Schritt zu schnell. Bevor du die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{(2x)^2+1} [/mm] bilden kannst, musst du erstmal 2x=u substiduieren. Daraus folgt dx=du/2 (und den entstandenen Faktor 1/2 kannst du vor das Integral ziehen).
Gruß Abakus
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> so, die konstante 4 bei arctan(2x) sollte eine 2 sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Sa 15.08.2009 | | Autor: | hamma |
achso, stimmt,danke für deine hilfe(-;
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Sa 15.08.2009 | | Autor: | hamma |
danke für die hilfe.(-;
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:32 Sa 15.08.2009 | | Autor: | hamma |
servus,danke für deine hilfe, die linearfaktorzerlegung habe ich falsch eingetippt aber trotzdem richtig weitergerechnet.mein partialbruch stimmt. mein fehler müsste dann woanders liegen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
Akakus hat seine Antwort zwischenzeitlich erweitert: Antwort
Lg
Herby
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