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Integralrechnung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 So 17.04.2005
Autor: andreas99

Hi,

[mm] $\integral_{}^{} [/mm] {x * arctan(x) dx}$

Sieht eigentlich ganz einfach aus und ich kann das Integral auch auflösen, aber irgendwie stimmt die Lösung nicht mit dem Ergebnis von Maxima überein. Vielleicht kann mir jemand weiter helfen?

So hab ich angefangen: (Produktintegration)
$u(x)=arctan(x)$
$v'(x)=x$
...

Dann entsteht zwei mal ein neues Integral, welches ich wieder mit Produktintegration bearbeite, und löst sich schliesslich auf. Nach Umformen ergibt sich:

[mm] $arctan(x)*(\bruch{x}{1+x^2}-2)+C$ [/mm]

Irgendwo muss ein Fehler sein, denn das Ergebnis ist scheinbar falsch. Ist der Weg so richtig und es ist vermutlich nur irgendwo ein Rechenfehler oder bin ich falsch vorgegangen?

Gruß
Andreas

        
Bezug
Integralrechnung: 1x Produktintegration! (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 So 17.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Andreas!



> [mm]\integral_{}^{} {x * arctan(x) dx}[/mm]
>  
> So hab ich angefangen: (Produktintegration)
> [mm]u(x)=arctan(x)[/mm]
> [mm]v'(x)=x[/mm]
>  ...

[daumenhoch]

  

> Dann entsteht zwei mal ein neues Integral, welches ich
> wieder mit Produktintegration bearbeite, und löst sich
> schliesslich auf.

[verwirrt] Du wendest die Produktintegration ein 2. Mal an?

In meiner Rechnung erhalte ich das Ergebnis der Stammfunktion gleich im 1. Schritt.

Du mußt halt den Ausdruck im 2. Integral etwas zerlegen ...


Poste doch mal Deine Zwischenschritte!


Als Ergebnis erhalte ich (bitte nachrechnen):

$F(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2+1}{2}*\arctan(x) [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] \ + \ C$

Edit: Tippfehler (Vorzeichen) korrigiert. Loddar


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Integralrechnung: Nachgerechnet
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:35 So 17.04.2005
Autor: Paulus

Hallo Loddar

>
> Als Ergebnis erhalte ich (bitte nachrechnen):
>  
> [mm]F(x) \ = \ \bruch{x^2+1}{2}*\arctan(x) + \bruch{1}{2}*x \ + \ C[/mm]

Nachgerechnet erhalte ich:
$F(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2+1}{2}*\arctan(x)-\bruch{1}{2}*x [/mm] \ + \ C$

Mit lieben Grüssen

Paul



Bezug
                        
Bezug
Integralrechnung: Korrekt!!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 So 17.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Paul!


[ok] Du hast natürlich recht !!

Auf meinem Zettel steht's auch richtig ... wird sofort geändert (also nicht auf dem Zettel ;-) ) !


Danke und Grüße
Loddar


Bezug
                
Bezug
Integralrechnung: verstanden
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 So 17.04.2005
Autor: andreas99

Hi Loddar,

> In meiner Rechnung erhalte ich das Ergebnis der
> Stammfunktion gleich im 1. Schritt.
>  
> Du mußt halt den Ausdruck im 2. Integral etwas zerlegen
> ...
> Poste doch mal Deine Zwischenschritte!

Ok, danke jetzt bekomme ich es auch heraus. Es war tatsächlich in ein direkt lösbares Integral umzuformen. Man muss halt mal drauf kommen, dass

[mm] $\bruch{x^2}{1+x^2}=-\bruch{1}{1+x^2}+1$ [/mm]

ist. Danach war es einfach. Der Trick ist nur das auch zu sehen. Ich hab halt das Produkt gesehen und gleich an Produktintegration gedacht...

Gruß
Andreas

Bezug
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