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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Logan |
Hallo Matheraum,
Hallo Marc,
Kannst du mir bei einer Aufgabe etwas behilflich sein?
Ich schreibe am Montag die nächste Matheklausur und lerne gerade dafür.
Die Aufgabe ist in meinem Buch, welches du auch hast, auf S. 102 Aufg. 22.
Das ist eine Steckbriefaufgabe, die ich mit Hilfe einer Integralrechnung lösen soll.
Die folgenden Variablen fallen bei der Aufgabe weg: b, c
d ist =1
Die Tangente ist y=1
Ich habe die Funktion mit der Tangente gleichgesetzt und folgende Schnittpunkte herausbekommen: x1= 0 v x2= -a
Schließlich habe ich das Integral berechnen:
[mm]\integral_{-a}^{0} (x^4+ax^3+1)\, dx=5000[/mm]
So das Ergebnis ist: [mm]-\bruch{1}{4}a^2+1\bruch{1}{5}a[/mm]
Dann hab ich das noch mal mit 5000 gleichgesetzt und wollte anhand der p/q Formel a berechnen. Das hat aber nicht so ganz geklappt.
Kannst mir vielleicht helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Kannst du mir bei einer Aufgabe etwas behilflich sein?
> Ich schreibe am Montag die nächste Matheklausur und lerne
> gerade dafür.
> Die Aufgabe ist in meinem Buch, welches du auch hast, auf
> S. 102 Aufg. 22.
> Das ist eine Steckbriefaufgabe, die ich mit Hilfe einer
> Integralrechnung lösen soll.
> Die folgenden Variablen fallen bei der Aufgabe weg: b, c
> d ist =1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , s.u.
> Die Tangente ist y=1
> Ich habe die Funktion mit der Tangente gleichgesetzt und
> folgende Schnittpunkte herausbekommen: x1= 0 v x2= -a
> Schließlich habe ich das Integral berechnen:
> [mm]\integral_{-a}^{0} (x^4+ax^3+1)\, dx=5000[/mm]
> So das Ergebnis ist: [mm]-\bruch{1}{4}a^2+1\bruch{1}{5}a[/mm]
> Dann hab ich das noch mal mit 5000 gleichgesetzt und
> wollte anhand der p/q Formel a berechnen. Das hat aber
> nicht so ganz geklappt.
Hier hast du die falsche Funktion integriert, es ist ja der Flächeninhalt zwischen zwei Graphen gesucht.
Außerdem könnte die (mögliche) negative Orientierung des Flächeninhalts dafür verantwortlich sein, dass du die Lösung nicht finden kannst.
Gleichzeitig stimmt auch dein Ergebnis [mm]-\bruch{1}{4}a^2+1\bruch{1}{5}a[/mm], selbst wenn das Integral richtig wäre. Würde mich mal interessieren, wie du darauf gekommen bist...
> Kannst mir vielleicht helfen?
Mal schauen:
[mm] $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$
[/mm]
[mm] $f'(x)=4x^3+3ax^2+2bx+c$
[/mm]
[mm] $f''(x)=12x^2+6ax+2b$
[/mm]
P(0|1) Sattelpunkt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f'(0)=0 und f''(0)=0 und f(0)=1
[mm] $f'(0)=0\gdw\ [/mm] c=0$
[mm] $f''(0)=0\gdw\ [/mm] b=0$
[mm] $f(0)=1\gdw\ [/mm] d=1$
Die Funktionsvorschrift lautet bisher:
[mm] $f(x)=x^4+ax^3+1$
[/mm]
Tangente: t: y=1
Schnittpunkte Tangente-Funktion:
$t(x)=f(x)$
[mm] $\gdw\ 1=x^4+ax^3+1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 0=x^4+ax^3$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 0=x^3*(x+a)$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x_1=0\ \vee\ x_2=-a$
[/mm]
Eine Stammfunktion von [mm] $f(x)-t(x)=x^4+ax^3$ [/mm] (zu integrieren ist ja die Differenzfunktion, weil der Flächeninhalt zwischen zwei Graphen gesucht ist):
[mm] $F(x)=\bruch{1}{5}*x^5+a*\bruch{1}{4}*x^4$
[/mm]
[mm] $\left| \integral_{-a}^{0} (x^4+ax^3)\, dx\right|\stackrel{!}{=}5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left| F(0)-F(-a)\right|=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left| 0-\left( \bruch{1}{5}*(-a)^5+a*\bruch{1}{4}*(-a)^4 \right)\right|=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left| -\left( -\bruch{1}{5}*a^5+a*\bruch{1}{4}*a^4 \right)\right|=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left| \bruch{1}{5}*a^5-a*\bruch{1}{4}*a^4\right|=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left| \bruch{1}{5}*a^5-\bruch{1}{4}*a^5\right|=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left| \bruch{4}{20}*a^5-\bruch{5}{20}*a^5\right|=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left| -\bruch{1}{20}*a^5\right|=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ -\bruch{1}{20}*a^5=5000$ [/mm] oder [mm] $-\left(-\bruch{1}{20}*a^5\right)=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ a^5=-100000$ [/mm] oder [mm] $\bruch{1}{20}*a^5=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ a^5=-100000$ [/mm] oder [mm] $a^5=100000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] a=-10$ oder $a=10$
Es gibt also zwei Funktionen, die den gewünschten Bedingungen entsprechen:
[mm] $f_1(x)=x^4+10x^3+1$
[/mm]
[mm] $f_2(x)=x^4-10x^3+1$
[/mm]
Alles klar?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Logan |
Drei Dinge sind mir noch unklar.
1. Wieso setzt du Betragsstriche, wenn bei dir das Minuszeichen sowieso nicht wegfällt? Damit beziehe ich mich auf folgende Zeilen:
> [mm] $\gdw\ \left| -\bruch{1}{20}*a^5\right|=5000$
[/mm]
> [mm] $\gdw\ -\bruch{1}{20}*a^5=5000$ [/mm] oder
> [mm] $-\left(-\bruch{1}{20}*a^5\right)=5000$
[/mm]
> [mm] $\gdw\ a^5=-100000$ [/mm] oder [mm] $\bruch{1}{20}*a^5=5000$
[/mm]
> [mm] $\gdw\ a^5=-100000$ [/mm] oder [mm] $a^5=100000$
[/mm]
> [mm] $\gdw\ [/mm] a=-10$ oder $a=10$
2. Wieso gibt es zwei Funktionen????
3. Wenn ich den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnen möchte, muss ich da immer die Differenzfunktion nehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Drei Dinge sind mir noch unklar.
> 1. Wieso setzt du Betragsstriche, wenn bei dir das
> Minuszeichen sowieso nicht wegfällt? Damit beziehe ich mich
> auf folgende Zeilen:
> > [mm] $\gdw\ \left| -\bruch{1}{20}*a^5\right|=5000$
[/mm]
> > [mm] $\gdw\ -\bruch{1}{20}*a^5=5000$ [/mm] oder
> > [mm] $-\left(-\bruch{1}{20}*a^5\right)=5000$
[/mm]
> > [mm] $\gdw\ a^5=-100000$ [/mm] oder [mm] $\bruch{1}{20}*a^5=5000$
[/mm]
> > [mm] $\gdw\ a^5=-100000$ [/mm] oder [mm] $a^5=100000$
[/mm]
> > [mm] $\gdw\ [/mm] a=-10$ oder $a=10$
Okay, das ist ein bisschen unglücklich hingeschrieben (da ich mich zuerst verrechnet hatte  ), es ist aber trotzdem richtig. Ein bisschen besser aufgeschrieben:
[mm] $\gdw\ \left| -\bruch{1}{20}*a^5\right|=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \bruch{1}{20}*|a|^5=5000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ |a|^5=100000$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] |a|=10$
[mm] $\gdw\ [/mm] a=-10$ oder $a=10$
> 2. Wieso gibt es zwei Funktionen????
Weil zwei Lösungen für a herauskommen!
Wenn du die Funktionen mal zeichnest, siehst du, dass die Graphen spiegelbildlich zur y-Achse liegen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> 3. Wenn ich den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen
> berechnen möchte, muss ich da immer die Differenzfunktion
> nehmen?
Das ist das einfachste, würde ich sagen.
Alternativ kannst du natürlich auch die beiden Funktion getrennt integrieren und ganz zum Schluß die Ergebnisse subtrahieren. Das ist aber im allgemeinen komplizierter, wie man auch bei deiner Aufgabe sieht:
Differenzfunktion integrieren:
[mm] $\integral_{-a}^0 [/mm] f(x)-t(x)\ [mm] dx=\integral_{-a}^0 x^4+ax^3\ dx=\left[ \bruch{1}{5}x^5+a*\bruch{1}{4}x^4\right]_{-a}^0=\ldots$
[/mm]
Getrennte Berechnung:
[mm] $\integral_{-a}^0 [/mm] f(x)\ [mm] dx-\integral_{-a}^0 [/mm] t(x)\ [mm] dx=\integral_{-a}^0 x^4+ax^3+1\ dx-\integral_{-a}^0 [/mm] 1\ [mm] dx=\left[ \bruch{1}{5}x^5+a*\bruch{1}{4}x^4+x\right]_{-a}^0-\left[ x\right]_{-a}^0=\ldots$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Logan |
Könnte ich jetzt auch bei dieser Aufgabe die Stammfunktionbilden?
Dann würde ich doch das gleiche Ergebniss bekommen und müsste nicht die Betragstriche setzten.
Wieso das zwei Ergebnisse sind, versteh ich immer noch nicht, wenn ich die Rechnung betrachte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Könnte ich jetzt auch bei dieser Aufgabe die
> Stammfunktionbilden?
diese Frage verstehe ich nicht, wir haben doch die Stammfunktion bei dieser Aufgabe gebildet?
> Dann würde ich doch das gleiche Ergebniss bekommen und
> müsste nicht die Betragstriche setzten.
Verstehe ich nicht.
> Wieso das zwei Ergebnisse sind, versteh ich immer noch
> nicht, wenn ich die Rechnung betrachte.
Die Betragstriche sind doch immer nötig, wenn es um eine Flächenberechnung geht, da wir ja nicht wissen, ob der Graph von f ober- oder unterhalb von t verläuft (und somit nicht wissen, ob der orientierte Flächeninhalt positiv oder negativ ist).
Und es gibt in diesem Fall einen zweiten Grund, die Betragstriche zu setzen: Wir wissen doch auch noch gar nicht, ob a positiv oder negativ ist, weswegen doch
[mm] $\integral_{-a}^0 [/mm] f(x)\ dx$
in "verkehrter" Richtung integriert ist, falls $a<0$ ist (selbst, wenn $f(x)>0$ ist).
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Logan |
Momment mal, die Stammfunktion wird doch meißt so gebildet:
[mm][\bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2]^a[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Momment mal, die Stammfunktion wird doch meißt so
> gebildet:
> [mm][\bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2]^a[/mm]
Häh? Was meinst du? Wo ist die untere Grenze?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Logan |
DIe konnte ich nicht einfügen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Logan |
OK, dann sag mir mal wie du die Aufgabe 10 (zum Beispiel a) auf Seite 86 berechnen würdest.
Würdest du da irgendwo Betragstriche setzten?
Ich würde die Stammfunktion bilden und einfach ausrechnen.
Ich dachte mit der Stammfunktion berechnet man nur die Fläche und mit dieser ganz normalen Rechnung, also [mm]\integral_{-N}^{N} e^x\, dx= (\bruch{N^x^+^1}{x+1}-\bruch{-N^x^+^1}{x+1})=.....[/mm], nur das Integral.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> OK, dann sag mir mal wie du die Aufgabe 10 (zum Beispiel a)
> auf Seite 86 berechnen würdest.
> Würdest du da irgendwo Betragstriche setzten?
> Ich würde die Stammfunktion bilden und einfach
> ausrechnen.
Die Funktionen lauten also [mm] $f(x)=x^3-4x$ [/mm] und $g(x)=-3x$, und es ist die eingeschlossene Fläche der beiden Funktionen zu berechnen.
Natürlich sind hier Betragsstriche zu setzen, da wir doch nicht wissen, ob f ober- oder unterhalb von g innerhalb der Integrationsgrenzen verläuft.
Angenommen, f und g hatte die Schnittstellen a, b und c, ($a<b<c$) dann ist das hier zu berechnen:
[mm] $\left| \integral_a^b\ f(x)-g(x)\ dx\right| [/mm] + [mm] \left| \integral_b^c\ f(x)-g(x)\ dx\right|=\left| \left[ F(x)-G(X)\right]_a^b\right|+ \left| \left[ F(x)-G(X)\right]_b^c\right|=\ldots$
[/mm]
> Ich dachte mit der Stammfunktion berechnet man nur die
> Fläche und mit dieser ganz normalen Rechnung, also
> [mm]\integral_{-N}^{N} e^x\, dx= (\bruch{N^x^+^1}{x+1}-\bruch{-N^x^+^1}{x+1})=.....[/mm],
> nur das Integral.
Nein, mit der Stammfunktion berechnet man immer das Integral.
Das Integral wird erst zu einer Flächen, wenn man --wie oben-- von Nullstelle zu Nullstelle (bzw. Schnittstelle zu Schnittstelle) integriert und dann jeweils immer die Beträge dieser Integrale aufsummiert.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Logan |
Das Integral würde man also berechnen, wenn man von a bis c berechnen würde.
Irgendwie wusste ich das schon, nur ist das alles durcheinander geraten.
Wobei die Betragstriche muss ich ja nicht setzten, wenn das Ergebniss sowieso positiv wäre.
Da ich das vorher aber nicht weiss, muss ich die Betragstriche doch setzten.
Ok, gut,
Ich meld mich sowieso noch mal gleich mit irgendeiner anderen Frage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Das Integral würde man also berechnen, wenn man von a bis c
> berechnen würde.
Genau!
> Irgendwie wusste ich das schon, nur ist das alles
> durcheinander geraten.
> Wobei die Betragstriche muss ich ja nicht setzten, wenn
> das Ergebniss sowieso positiv wäre.
> Da ich das vorher aber nicht weiss, muss ich die
> Betragstriche doch setzten.
> Ok, gut,
Stimmt, sehr gut analysiert 
> Ich meld mich sowieso noch mal gleich mit irgendeiner
> anderen Frage.
Gut, aber poste dann bitte die gesamte Aufgabenstellung, damit dir auch jemand anders darauf antworten kann.
Ich muß nämlich gleich weg, schaue aber morgen wieder rein.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> DIe konnte ich nicht einfügen.
Okay, kann passieren
Aber trotzdem verstehe ich nicht, was du eigentlich damit meintest.
Meintest du das so: Falls $a<0$ ist, dann ist ja $-a>0$ und man müßte dann integrieren
[mm] $\integral_0^a\ldots\ [/mm] dx$?
Das würde auch gehen.
Man macht also ganz zu Beginn der Rechnung eine Fallunterscheidung und untersucht die möglichen Fälle einzeln:
1. Fall: $a>0$
[mm] $\left| \integral_{-a}^0\ldots\ dx\right|=\ldots$
[/mm]
2. Fall: $a<0$
[mm] $\left| \integral_{0}^a\ldots\ dx\right|=\ldots$
[/mm]
Wenn man weiß, dass t unterhalb von f im Integrationsbereich verläuft, kann man auch die Betragstriche weglassen.
Dadurch, dass ich diese Fallunterscheidung nicht gemacht hatte bei meiner Lösung, mußte ich die Betragsstriche bis zum Schluß "mitziehen", weil ich ja bis zum Schluß nicht wußte, ob a positiv oder negativ ist. Ich habe dann sozusagen erst ganz zum Schluß meiner Rechnung die Fallunterscheidung gemacht und die Betragstriche wegfallen lassen
Viele Grüße,
Marc
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