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Integralrechnung: Volumen berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Mo 06.12.2010
Autor: drahmas

Aufgabe
Berechnen Sie den Inhalt jener endlichen Fläche, die von den Funktionen f1: [mm] y=x^2 [/mm] und f2: [mm] y=-x^2+8 [/mm] eingeschlossen wird.
Berechnen Sie das Volumen jenes Körpers, der bei der Rotation um die y-Achse entsteht.

Hallo,

bei der Rotation um die y-Achse blicke ich leider nicht ganz durch.

Ich habe zunächst einmal die Fläche ausgerechnet:

[mm] x^2=-x^2+8 \Rightarrow -2x^2+8 [/mm]

Die Schnittpunkte erhalte ich mit:

[mm] -2x^2+8 [/mm] /-8
[mm] -2x^2=-8 [/mm] /:2
[mm] -x^2=-4 [/mm] / [mm] \pm\wurzel{} [/mm]
[mm] x_1=2 [/mm]
[mm] x_1=-2 [/mm]

Durch Einsetzen in f1: [mm] y=x^2 [/mm] erhalte ich y [mm] \Rightarrow S_1=(-2/4) S_2=(2/4) [/mm]

[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{0}{-2x^2+8 dx}=-2*\bruch{x^3}{3}+8x \Rightarrow -\bruch{32}{8} [/mm]

[mm] A_2 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}{-2x^2+8 dx}=-2*\bruch{x^3}{3}+8x \Rightarrow \bruch{32}{8} [/mm]

A_ges= [mm] |A_1|+|A_2| [/mm] = 21,33 FE

Stimmt das?


Ich habe in einer Notiz stehen, dass man mit [mm] 2*\pi*\integral_{0}^{2}{-2x^2+8 dx} [/mm] angeblich auch auf die Fläche kommt. Ist das nicht das Volumen bei der Rotation um die x-Achse? Kommt mir irgendwie komisch vor...


Wie rotiere ich die Fläche aber nun um die y-Achse?
Ich habe habe hier stehen:

[mm] f_1: x^2=y [/mm]

[mm] f_2: y=-x^2+8 /+x^2-y [/mm]
[mm] x^2=8-y [/mm]

Warum löst man da nach [mm] x^2 [/mm] auf?

Und wie berechnet man dann das Volumen wenn ich einsetze in:

[mm] f_1 [/mm] V= [mm] \integral_{0}^{4}{y dx} [/mm]

[mm] f_2 [/mm] V= [mm] \integral_{4}^{8}{8-y dx} [/mm]

Was setze ich da für y ein? Und warum  im Intervall zwischen 4 und 8?

Besten Dank für die Hilfe

        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Mo 06.12.2010
Autor: fred97


> Berechnen Sie den Inhalt jener endlichen Fläche, die von
> den Funktionen f1: [mm]y=x^2[/mm] und f2: [mm]y=-x^2+8[/mm] eingeschlossen
> wird.
>  Berechnen Sie das Volumen jenes Körpers, der bei der
> Rotation um die y-Achse entsteht.
>  Hallo,
>  
> bei der Rotation um die y-Achse blicke ich leider nicht
> ganz durch.
>  
> Ich habe zunächst einmal die Fläche ausgerechnet:
>  
> [mm]x^2=-x^2+8 \Rightarrow -2x^2+8[/mm]
>  
> Die Schnittpunkte erhalte ich mit:
>  
> [mm]-2x^2+8[/mm] /-8
>  [mm]-2x^2=-8[/mm] /:2
>  [mm]-x^2=-4[/mm] / [mm]\pm\wurzel{}[/mm]
>  [mm]x_1=2[/mm]
>  [mm]x_1=-2[/mm]
>  
> Durch Einsetzen in f1: [mm]y=x^2[/mm] erhalte ich y [mm]\Rightarrow S_1=(-2/4) S_2=(2/4)[/mm]
>  
> [mm]A_1[/mm] = [mm]\integral_{-2}^{0}{-2x^2+8 dx}=-2*\bruch{x^3}{3}+8x \Rightarrow -\bruch{32}{8}[/mm]
>  
> [mm]A_2[/mm] = [mm]\integral_{0}^{2}{-2x^2+8 dx}=-2*\bruch{x^3}{3}+8x \Rightarrow \bruch{32}{8}[/mm]


Beide male muß da [mm] \bruch{32}{3} [/mm]  stehen !!

>  
> A_ges= [mm]|A_1|+|A_2|[/mm] = 21,33 FE
>  
> Stimmt das?
>  
>
> Ich habe in einer Notiz stehen, dass man mit
> [mm]2*\pi*\integral_{0}^{2}{-2x^2+8 dx}[/mm] angeblich auch auf die
> Fläche kommt.


Das ist Quatsch !


Ist das nicht das Volumen bei der Rotation

> um die x-Achse?


Fast.  Das Volumen ist gegeben durch

                     [mm]2*\pi*\integral_{0}^{2}{(-2x^2+8)^2 dx}[/mm]


FRED

> Kommt mir irgendwie komisch vor...
>  
>
> Wie rotiere ich die Fläche aber nun um die y-Achse?
>  Ich habe habe hier stehen:
>  
> [mm]f_1: x^2=y[/mm]
>
> [mm]f_2: y=-x^2+8 /+x^2-y[/mm]
>  [mm]x^2=8-y[/mm]
>  
> Warum löst man da nach [mm]x^2[/mm] auf?
>  
> Und wie berechnet man dann das Volumen wenn ich einsetze
> in:
>  
> [mm]f_1[/mm] V= [mm]\integral_{0}^{4}{y dx}[/mm]
>  
> [mm]f_2[/mm] V= [mm]\integral_{4}^{8}{8-y dx}[/mm]
>  
> Was setze ich da für y ein? Und warum  im Intervall
> zwischen 4 und 8?
>  
> Besten Dank für die Hilfe


Bezug
                
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 Mo 06.12.2010
Autor: drahmas

Hallo,

danke für die Antwort.

Und das Volumen bei der Rotation um die y-Achse?

Beste Grüße

Bezug
        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Mo 06.12.2010
Autor: MathePower

Hallo drahmas,

>
> Wie rotiere ich die Fläche aber nun um die y-Achse?
>  Ich habe habe hier stehen:
>  
> [mm]f_1: x^2=y[/mm]
>
> [mm]f_2: y=-x^2+8 /+x^2-y[/mm]
>  [mm]x^2=8-y[/mm]
>  
> Warum löst man da nach [mm]x^2[/mm] auf?


Nun, weil die Formel bei Rotation einer
Funktion f um die y-Achse lautet:

[mm]V_{y}=\pi*\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{x^{2}\left(y\right) \ dy}[/mm]


> Und wie berechnet man dann das Volumen wenn ich einsetze
> in:
>  
> [mm]f_1[/mm] V= [mm]\integral_{0}^{4}{y dx}[/mm]


Hier muss es doch lauten: [mm]V_{1}= \integral_{0}^{4}{y \ d\blue{y}}[/mm]


>  
> [mm]f_2[/mm] V= [mm]\integral_{4}^{8}{8-y dx}[/mm]


Dito hier: [mm]V_{2}= \integral_{4}^{8}{8-y \ d\blue{y}}[/mm]


>  
> Was setze ich da für y ein? Und warum  im Intervall
> zwischen 4 und 8?


[mm]y=4[/mm] ist der Schnittpunkt der Funktionen [mm]x^{2}=y[/mm] und
[mm]x^{2}=8-y[/mm]

[mm]y=8[/mm] ist der Funktionswert der Funktion [mm]x^{2}=8-y[/mm]
an der Stelle x=0.


> Besten Dank für die Hilfe


Gruss
MathePower

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