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Hallo!
Bin wieder auf ein Problem gestossen:
Wie kann ich den Integral [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] f(x)dx berechnen, wenn f(x)= [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} 1/(i+x)^2 [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0.
Ich weiss zwar, dass [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] f(x)dx = [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{k} (a_{k}-a_{k-1}) [/mm] definiert ist, kann aber nicht den Zusammenhang zwischen meiner Aufgabe und der Definition sehen...
Kann mir vielleicht jemand den Tip geben, wie man da anfangen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mo 05.09.2005 | | Autor: | HomerSi |
Hallo,
also du willst ja eine Summe integrieren, dann kannst du ja die Linearität ausnutzen und gliedweise integrieren, also das Summen zeichen vorziehen.
Ich hoffe es hilft dir.
mfg
HomerSi
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Danke für den Tip! Also rechne ich so:
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \integral_{0}^{1} {\bruch{1}{(n+1)^2}dx} [/mm] = ... = [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} {\bruch{1}{n(n+1)}} [/mm] .
Bin ich dann fertig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Di 06.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo matrimatikus!
Naja, eigentlich müsste man sich schon noch überlegen, warum man das hier vertauschen darf (das darf man nämlich nicht immer). Dazu bin ich aber gerade zu faul.  (Im Ernst: Hier geht es ohne Probleme...)
Zur Rechnung: Wir haben
[mm] $\int\limits_0^1 \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(i+x)^2}\, [/mm] dx$
$= [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty} \int\limits_0^1 \frac{1}{(i+x)^2}\, [/mm] dx$
$= - [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i+x} \big\vert_0^1$
[/mm]
$= - [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty} \left( \frac{1}{i+1} - \frac{1}{i} \right)$
[/mm]
$=1$,
denn es handelt sich um eine Teleskopsumme.
Liebe Grüße
Julius
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