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| Aufgabe | 5. Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, welche der Graph der Funktion f mit der 1. Achse einschließt
$f(x)=(x-1) * [mm] (x-4)^2$
[/mm]
7. Gesucht ist eine Funktion aus der Funktionenschar fk, deren Graph mit der 1. Achse eine Fläche vom İnhalt A einschließt. Bestimme k.
[mm] $fk(x)=2x^2 [/mm] - k, A = 3$ |
Hallo Leute,
zu Aufgabe 5):
[mm] $\integral_{1}^{4}{f(x) = x^3-9x^2+24x-16 dx} [/mm] = 6,75$
Ist das Ergebnis richtig?
Zu Aufgabe 7):
Hier muss man doch auch die Nullstellen bestimmen, oder? Die Nullstellen wären dann:
[mm] $\wurzel{\bruch{k}{2}}$ [/mm] und [mm] $-\wurzel{\bruch{k}{2}}$
[/mm]
[mm] $\integral_{-\wurzel{\bruch{k}{2}}}^{\wurzel{\bruch{k}
{2}}}{f(x) = 2x^2-k dx}=3$
[/mm]
Stammfunktion wäre:
[mm] $\bruch{2}{3}*x^3-kx$
[/mm]
Jetzt die Nullstellen einsetzen:
[mm] $\bruch{2}{3}*\wurzel{\bruch{k}
{2}}^3-k*\wurzel{\bruch{k}
{2}}- \left(\bruch{2}{3}*(-\wurzel{\bruch{k}{2}})^3-k*(-\wurzel{\bruch{k}{2}})\right)=3$
[/mm]
Ist das soweit richtig?? Wenn ja, wie komme ich auf einfache Möglichkeit um k herauszubekommen?
Vielen Dank.
Steffi
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Hallo,
> zu Aufgabe 5):
>
> [mm]\integral_{1}^{4}{f(x) = x^3-9x^2+24x-16 dx} = 6,75[/mm]
>
> Ist das Ergebnis richtig?
Das ist zwar vom Ergebnis her richtig, aber die Art und Weise, wie du es aufgeschrieben hast, lässt mich erschaudern!
Es steht da, verzeih bitte, bis auf das Ergebnis höherer Blödsinn. Richtig könnte es bspw. so aussehen:
[mm] \integral_{1}^{4}{f(x) dx}=\integral_{1}^{4}{x^3-9x^2+24x+16 dx}
[/mm]
[mm] =\left[\bruch{x^4}{4}-3x^3+12x^2-16x\right]_1^4
[/mm]
=6.75 FE
>
> Zu Aufgabe 7):
> Hier muss man doch auch die Nullstellen bestimmen, oder?
> Die Nullstellen wären dann:
> [mm]\wurzel{\bruch{k}{2}}[/mm] und [mm]-\wurzel{\bruch{k}{2}}[/mm]
>
> [mm]$\integral_{-\wurzel{\bruch{k}{2}}}^{\wurzel{\bruch{k} {2}}}{f(x) = 2x^2-k dx}=3$[/mm]
>
> Stammfunktion wäre:
> [mm]\bruch{2}{3}*x^3-kx[/mm]
>
> Jetzt die Nullstellen einsetzen:
> [mm]$\bruch{2}{3}*\wurzel{\bruch{k} {2}}^3-k*\wurzel{\bruch{k} {2}}- \left(\bruch{2}{3}*(-\wurzel{\bruch{k}{2}})^3-k*(-\wurzel{\bruch{k}{2}})\right)=3$[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?? Wenn ja, wie komme ich auf
> einfache Möglichkeit um k herauszubekommen?
Das ist, wenn ich nichts übersehen habe, bis dahin richtig. Du kannst allerdings die Rechnung wesentlich einfacher haben, wenn du die Symmetrieeigenschaft der Schar [mm] f_k [/mm] ausnutzen würdest. Ihre Repräsentanten sind achsensymmetrisch zur y-Achse, du kannst also von bspw. von 0 bis zur rechten Nullstelle integrieren und das Integral eben gleich 3/2 setzen. Und dann musst du halt njach k auflösen, so oder so. 
Gruß, Diophant
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Vielen Dank. Leider komme ich nicht auf k. Ich habe jetzt deinen Ratschlag befolgt und von 0 bis zur rechten Nullstelle integriert:
[mm] $\bruch{2}{3}*\wurzel{\bruch{k}{2}}^3-k*\wurzel{\bruch{k}{2}}=\bruch{3}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw\bruch{2}{3}*\bruch{k}{2}*\wurzel{\bruch{k}{2}}-k*\wurzel{\bruch{k}{2}}=\bruch{3}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw\wurzel{\bruch{k}{2}}*(\bruch{2}{3}*\bruch{k}{2}-k)=\bruch{3}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw\wurzel{\bruch{k}{2}}*(\bruch{k}{3}-k)=\bruch{3}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw\wurzel{\bruch{k}{2}}*k*(-\bruch{2}{3})=\bruch{3}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw\wurzel{\bruch{k}{2}}*k=-\bruch{9}{4}$
[/mm]
[mm] $\gdw\bruch{k}{2}*k^2=\bruch{81}{16}$
[/mm]
[mm] $\gdw k^3=\bruch{81}{8}$
[/mm]
$k [mm] \approx [/mm] 2,1633$
Wenn ich k jetzt einsetze, kommt allerdings -3/2 raus...
Wo ist mein Fehler?
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Hallo,
> Wenn ich k jetzt einsetze, kommt allerdings -3/2 raus...
> Wo ist mein Fehler?
sorry, das war ein Denkfehler meinerseits. Die Fläche liegt für positive k unterhalb der x-Achse (für k=0 oder k<0 existiert sie überhaupt nicht). Von daher musst du das Integral natürlich mit -3/2 gleichsetzen, und damit stimmt natürlich deine Lösung auch.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Do 24.05.2012 | | Autor: | Steffi2012 |
Ok, besten Dank!
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