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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 So 23.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
Hey leute ich habe probleme bei einer Aufgabe:
| Aufgabe | Bestimmen sie das Integral mittels Substitution:
[mm] \integral_{}^{} \bruch{dx}{(x^2 + 9 )^2} \, [/mm] |
Wie gehe ich bei diesem Integral vor?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tiger1,
das ist in der Tat nicht so einfach.
> Hey leute ich habe probleme bei einer Aufgabe:
>
> Bestimmen sie das Integral mittels Substitution:
>
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{dx}{(x^2 + 9 )^2} \,[/mm]
>
> Wie gehe ich bei diesem Integral vor?
Ich musste auch erst nachschlagen.
Substituiere [mm] x=3\tan{u}.
[/mm]
Das scheint der einzige Weg zu sein, aber auch der ist nicht so richtig spaßig, weil nach der Substitution auch noch zweimalige partielle Integration folgt - oder besser ein Additionstheorem angewandt wird, nämlich [mm] \cos^2{u}=\bruch{1}{2}(\cos{(2u)}+1).
[/mm]
Wie man das z.B. in einer Klausur "sehen" soll, weiß ich allerdings auch nicht. Für einen Aufgabenzettel mag es ja noch gehen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 23.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
> Hallo tiger1,
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> das ist in der Tat nicht so einfach.
>
> > Hey leute ich habe probleme bei einer Aufgabe:
> >
> > Bestimmen sie das Integral mittels Substitution:
> >
> > [mm]\integral_{}^{} \bruch{dx}{(x^2 + 9 )^2} \,[/mm]
> >
> > Wie gehe ich bei diesem Integral vor?
>
> Ich musste auch erst nachschlagen.
>
> Substituiere [mm]x=3\tan{u}.[/mm]
>
> Das scheint der einzige Weg zu sein, aber auch der ist
> nicht so richtig spaßig, weil nach der Substitution auch
> noch zweimalige partielle Integration folgt - oder besser
> ein Additionstheorem angewandt wird, nämlich
> [mm]\cos^2{u}=\bruch{1}{2}(\cos{(2u)}+1).[/mm]
>
> Wie man das z.B. in einer Klausur "sehen" soll, weiß ich
> allerdings auch nicht. Für einen Aufgabenzettel mag es ja
> noch gehen.
>
> Grüße
> reverend
>
>
Hallo
ich weiss nicht ob ich genau richtig vorgeganen bin aber ich poste mal meine Rechnung:
x = 3 tan u
du = hoffe hab jetzt tan richtig abgeleitet : [mm] \bruch{dx}{3*cos^2 u}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} \bruch{du* 3cos^2 u}{((3tanu)^2 +9)^2}\, [/mm]
Man o man wie integriere ich das?
Und ich habe mal so ne nebenfrage wie bist du drauf gekommen, das man 3tan u als Substitution nehmen kann?
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Hallo tiger1,
> > Hallo tiger1,
> >
> > das ist in der Tat nicht so einfach.
> >
> > > Hey leute ich habe probleme bei einer Aufgabe:
> > >
> > > Bestimmen sie das Integral mittels Substitution:
> > >
> > > [mm]\integral_{}^{} \bruch{dx}{(x^2 + 9 )^2} \,[/mm]
> > >
> > > Wie gehe ich bei diesem Integral vor?
> >
> > Ich musste auch erst nachschlagen.
> >
> > Substituiere [mm]x=3\tan{u}.[/mm]
> >
> > Das scheint der einzige Weg zu sein, aber auch der ist
> > nicht so richtig spaßig, weil nach der Substitution auch
> > noch zweimalige partielle Integration folgt - oder besser
> > ein Additionstheorem angewandt wird, nämlich
> > [mm]\cos^2{u}=\bruch{1}{2}(\cos{(2u)}+1).[/mm]
> >
> > Wie man das z.B. in einer Klausur "sehen" soll, weiß ich
> > allerdings auch nicht. Für einen Aufgabenzettel mag es ja
> > noch gehen.
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
> >
>
> Hallo
>
> ich weiss nicht ob ich genau richtig vorgeganen bin aber
> ich poste mal meine Rechnung:
>
> x = 3 tan u
>
> du = hoffe hab jetzt tan richtig abgeleitet :
> [mm]\bruch{dx}{3*cos^2 u}[/mm]
Mit [mm]x=3\tan(u)[/mm] ist [mm]\frac{dx}{du}=3\cdot{}\frac{1}{\cos^2(u)}[/mm]
Also [mm]dx=\frac{3}{\cos^2(u)} \ du[/mm]
Besser ist hier die Darstellung [mm]\tan'(u)=1+\tan^2(u)[/mm]
Damit vereinfacht sich doch einiges, zumal mit [mm]x=3\tan(u)[/mm] dann [mm]x^2+9=9\tan^2(u)+9=9(\tan^2(u)+1)[/mm] ist ...
Damit solltest du auf [mm]\frac{1}{27}\int{\frac{1}{1+\tan^2(u)} \ du}[/mm] kommen, was du wegen [mm][/mm][mm]tan'(z)=\frac{1}{\cos^2(z)}=1+\tan^2(z)[/mm] wieder umschreiben kannst in [mm]\frac{1}{27}\int{\cos^2(u) \ du}[/mm]
Und das kannst du partiell integrieren oder zunächst mithilfe des in der anderen Antwort erwähnten Additionstheorems vereinfachen und dann leicht(er) integrieren ...
>
>
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{du* 3cos^2 u}{((3tanu)^2 +9)^2}\,[/mm]
>
> Man o man wie integriere ich das?
>
> Und ich habe mal so ne nebenfrage wie bist du drauf
> gekommen, das man 3tan u als Substitution nehmen kann?
Das Standardintegral [mm]\frac{1}{(1+x^2)}[/mm] knackt man wegen der oben erwähnten Darstellung der Ableitung des Tangens als [mm]1+Tangens^2[/mm] mit der Substitution [mm]x=\tan(u)[/mm]
Hier hast du im Nenner [mm](9+x^2)=9(1+(x/3))^2[/mm], was mit dem Obigen auf [mm]x/3=\tan(u)[/mm], also [mm]x=3\tan(u)[/mm] führt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 23.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
> Hallo tiger1,
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> > > Hallo tiger1,
> > >
> > > das ist in der Tat nicht so einfach.
> > >
> > > > Hey leute ich habe probleme bei einer Aufgabe:
> > > >
> > > > Bestimmen sie das Integral mittels Substitution:
> > > >
> > > > [mm]\integral_{}^{} \bruch{dx}{(x^2 + 9 )^2} \,[/mm]
> > > >
> > > > Wie gehe ich bei diesem Integral vor?
> > >
> > > Ich musste auch erst nachschlagen.
> > >
> > > Substituiere [mm]x=3\tan{u}.[/mm]
> > >
> > > Das scheint der einzige Weg zu sein, aber auch der ist
> > > nicht so richtig spaßig, weil nach der Substitution auch
> > > noch zweimalige partielle Integration folgt - oder besser
> > > ein Additionstheorem angewandt wird, nämlich
> > > [mm]\cos^2{u}=\bruch{1}{2}(\cos{(2u)}+1).[/mm]
> > >
> > > Wie man das z.B. in einer Klausur "sehen" soll, weiß ich
> > > allerdings auch nicht. Für einen Aufgabenzettel mag es ja
> > > noch gehen.
> > >
> > > Grüße
> > > reverend
> > >
> > >
> >
> > Hallo
> >
> > ich weiss nicht ob ich genau richtig vorgeganen bin aber
> > ich poste mal meine Rechnung:
> >
> > x = 3 tan u
> >
> > du = hoffe hab jetzt tan richtig abgeleitet :
> > [mm]\bruch{dx}{3*cos^2 u}[/mm]
>
> Mit [mm]x=3\tan(u)[/mm] ist
> [mm]\frac{dx}{du}=3\cdot{}\frac{1}{\cos^2(u)}[/mm]
>
> Also [mm]dx=\frac{3}{\cos^2(u)} \ du[/mm]
>
> Besser ist hier die Darstellung [mm]\tan'(u)=1+\tan^2(u)[/mm]
>
> Damit vereinfacht sich doch einiges, zumal mit [mm]x=3\tan(u)[/mm]
> dann [mm]x^2+9=9\tan^2(u)+9=9(\tan^2(u)+1)[/mm] ist ...
>
> Damit solltest du auf
> [mm]\frac{1}{27}\int{\frac{1}{1+\tan^2(u)} \ du}[/mm] kommen, was du
> wegen [mm][/mm][mm]tan'(z)=\frac{1}{\cos^2(z)}=1+\tan^2(z)[/mm] wieder
> umschreiben kannst in [mm]\frac{1}{27}\int{\cos^2(u) \ du}[/mm]
>
> Und das kannst du partiell integrieren oder zunächst
> mithilfe des in der anderen Antwort erwähnten
> Additionstheorems vereinfachen und dann leicht(er)
> integrieren ...
>
> >
> >
> > [mm]\integral_{}^{} \bruch{du* 3cos^2 u}{((3tanu)^2 +9)^2}\,[/mm]
> >
> > Man o man wie integriere ich das?
> >
> > Und ich habe mal so ne nebenfrage wie bist du drauf
> > gekommen, das man 3tan u als Substitution nehmen kann?
>
> Das Standardintegral [mm]\frac{1}{(1+x^2)}[/mm] knackt man wegen der
> oben erwähnten Darstellung der Ableitung des Tangens als
> [mm]1+Tangens^2[/mm] mit der Substitution [mm]x=\tan(u)[/mm]
>
> Hier hast du im Nenner [mm](9+x^2)=9(1+(x/3))^2[/mm], was mit dem
> Obigen auf [mm]x/3=\tan(u)[/mm], also [mm]x=3\tan(u)[/mm] führt ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Also [mm]dx=\frac{3}{\cos^2(u)} \ du[/mm]
Wie bist du genau hierauf gekommen . Das verstehe ich übrhaupt nicht.
Besser ist hier die Darstellung [mm]\tan'(u)=1+\tan^2(u)[/mm]
Und was machst du jetzt hier genau?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 So 23.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
[...]
Hallo
> > Hier hast du im Nenner [mm](9+x^2)=9(1+(x/3))^2[/mm], was mit dem
> > Obigen auf [mm]x/3=\tan(u)[/mm], also [mm]x=3\tan(u)[/mm] führt ...
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
> Also [mm]dx=\frac{3}{\cos^2(u)} \ du[/mm]
Was genau ist denn an Schachuzipus' folgender Aussage
"Mit $ [mm] x=3\tan(u) [/mm] $ ist
$ [mm] \frac{dx}{du}=3\cdot{}\frac{1}{\cos^2(u)} [/mm] $ "
nicht zu verstehen? Hier wurde die "Substituitionsfunktion" x(u) nach u abgeleitet, um im zu Integrierenden Teil das dx durch du ersetzen zu können, damit du dann vernünftig integrieren kannst.
>
> Wie bist du genau hierauf gekommen . Das verstehe ich
> übrhaupt nicht.
>
>
> Besser ist hier die Darstellung [mm]\tan'(u)=1+\tan^2(u)[/mm]
>
> Und was machst du jetzt hier genau?
Ableiten, f' hier tan' steht doch für die Ableitung.
Marius
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