Integralrechnung: < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Tyson |
| Aufgabe | Hallo ich komme bei einer Aufgabe gerade nicht weiter:
[mm] \integral_{0}^{1}\wurzel{1-x^2} \, [/mm] dx
Soll ich als substitution hier u = cos x benutzen? |
nicht gestellt.
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Hallo Tyson,
> Hallo ich komme bei einer Aufgabe gerade nicht weiter:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\wurzel{1-x^2} \,[/mm] dx
>
> Soll ich als substitution hier u = cos x benutzen?
Hast du es mal probiert? Ohne Versuch(e) kein Lerngewinn ...
Was kommt heraus? Kommt überhaupt was heraus?
Meinst du nicht eher [mm] $x=\cos(u)$, [/mm] damit [mm] $1-x^2=1-\cos^2(u)=\sin^2(u)$ [/mm] ergibt? ...
Versuche das mal, und wenn nix Gescheites herauskommt, probiere mal den Integranden zu schreiben als [mm] $1\cdot{}\sqrt{1-x^2}$
[/mm]
Dann partielle Integration und nochmal die Substitutionsidee ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Tyson |
[mm] \integral_{0}^{1} -1\, [/mm] du
Das integriert wäre u
Wäre das mit der substi richtig berechet?
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Hallo,
> [mm]\integral_{0}^{1} -1\,[/mm] du
>
> Das integriert wäre u
>
> Wäre das mit der substi richtig berechet?
Was ist eine substi???
Rechnung und Ergebnis sind, freundlich gesagt, konfus und falsch.
i): die Stammfunktion von -1 ist hier nicht u, sondern natürlich -u
ii): wenn du ein bestimmtes Integral per Substitution löst, müssen die Grenzen ebenfalls substituiert werden. Die Vorgehensweise hat den Vorteil, dass man das Integral in der substituierten Form ausrechnen kann. Eine Alternative besteht darin, zunächst unbestimmt zu integrieren. Dann muss allerdings vor der Berechnung des bestimmten Integrals rücksubstituiert werden.
PS: diese Fragen sind keine Schulmathematik.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > [mm]\integral_{0}^{1} -1\,[/mm] du
> >
> > Das integriert wäre u
> >
> > Wäre das mit der substi richtig berechet?
>
> Was ist eine substi???
Methadon !
FRED
>
> Rechnung und Ergebnis sind, freundlich gesagt, konfus und
> falsch.
>
> i): die Stammfunktion von -1 ist hier nicht u, sondern
> natürlich -u
>
> ii): wenn du ein bestimmtes Integral per Substitution
> löst, müssen die Grenzen ebenfalls substituiert werden.
> Die Vorgehensweise hat den Vorteil, dass man das Integral
> in der substituierten Form ausrechnen kann. Eine
> Altrernative besteht darin, zunächst unbestimmt zu
> integrieren. Dann muss allerdings vor der BErechnung des
> bestimmten Integrals rücksubstituiert werden.
>
> PS: diese Fragen sind keine Schulmathematik.
>
>
> Gruß, Diophant
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
> > Was ist eine substi???
>
>
> Methadon !
sollen wir es nicht beim Riesling belassen? Und falls wir uns je mal über den Weg laufen, würde ich dich ja nach wie vor gerne von meinem Lieblings-Lemberger überzeugen, ich würde auch einen ausgeben. 
Grüße aus Schwaben ins Badische, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> > > Was ist eine substi???
> >
> >
> > Methadon !
>
> sollen wir es nicht beim Riesling belassen? Und falls wir
> uns je mal über den Weg laufen, würde ich dich ja nach
> wie vor gerne von meinem Lieblings-Lemberger überzeugen,
> ich würde auch einen ausgeben.
>
>
> Grüße aus Schwaben ins Badische, Diophant
Hallo Diophant,
prima, dann machen wir uns einen schwabischen Abend.
Gruß FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Tyson |
Ja aber die Integrationsgrenzen sind dann nur einfach umgekehrt von 1 bis 0
Ok und das integral wäre -u.
Grenzen eingesetzt kommt -1 raus.
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ja aber die Integrationsgrenzen sind dann nur einfach
> umgekehrt von 1 bis 0
>
> Ok und das integral wäre -u.
>
> Grenzen eingesetzt kommt -1 raus.
>
> Richtig?
Nein. Mann , rechne doch mal vor !
Dann können wir Deine Fehler finden.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Tyson |
[mm] \integral_{1}^{0} \bruch{sinu}{-sinu} \, [/mm] du
Substitution sah so aus:
x = cos u
du = -sin u *dx
So bin ich auf mein ergebnis gekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Sa 16.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{1}^{0} \bruch{sinu}{-sinu} \,[/mm] du
>
>
> Substitution sah so aus:
>
> x = cos u
>
> du = -sin u *dx
Unsinn !^2
Es ist dx=-sin(u) du
FRED
>
>
> So bin ich auf mein ergebnis gekommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Tyson |
Äh ok muss ich dann jetzt -sin [mm] u^2 [/mm] du partiell ableiten
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Hallo nochmal,
> Äh ok muss ich dann jetzt -sin [mm]u^2[/mm] du partiell ableiten
Um ein Integral zu berechnen, scheint es mir sinnvoller, partiell zu integrieren.
Wonach willst du auch partiall ableiten?
Nach [mm] $\varphi$?
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Tyson |
Ok wie Leute soll ich denn dann Vorgehen?
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Hallo nochmal,
du kannst das Integral, das nach der Substitution entsteht, mit partieller Integration lösen oder zuerst [mm] $\sin^2(u)$ [/mm] mithilfe der Additionstheoreme umschreiben und dann integrieren.
Du solltest aber deine substituierten Grenzen nochmal überprüfen, da scheint mir was nicht zu stimmen.
Alternativ rechne zuerst das unbestimmte Integral (ohne Grenzen) in u aus, resubstituiere dann wieder in einen Ausdruck mit x und setze die alten Grenzen ein.
Zur Selbstkontrolle: Das Integral entspricht der Fläche des Viertels eines Einheitskreises. Du kannst dir mal überlegen, wieso ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:12 So 17.02.2013 | | Autor: | Tyson |
Soll ich Jetzt. [mm] 1-cos^2 [/mm] u du integrieren ?
Das wäre u+sinu +c
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 So 17.02.2013 | | Autor: | cluso. |
Hi Tyson!
Ich zeig dir mal ein bisschen von der Rechnung:
Du substituierst [mm] \cos(u) [/mm] = x [mm] \Rightarrow \frac{ \dx }{ \du }= [/mm] - [mm] \sin(u) [/mm] (also die Ableitung von [mm] \cos(u) [/mm] ) [mm] \Rightarrow \int_{0}^{1} \! \sqrt{1 - x^2} \, [/mm] dx = [mm] \int_{0}^{1} \! \sqrt{1- \cos^2 (u) } [/mm] ( - [mm] \sin(u) [/mm] ) [mm] \, [/mm] du
Wende nun den trigonometrischen Pythagoras an, und der Fisch ist gegessen...
Gruß
Cluso
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi Tyson!
>
> Ich zeig dir mal ein bisschen von der Rechnung:
>
> Du substituierst [mm]\cos(u)[/mm] = x [mm]\Rightarrow \frac{ \dx }{ \du }=[/mm]
> - [mm]\sin(u)[/mm] (also die Ableitung von [mm]\cos(u)[/mm] ) [mm]\Rightarrow \int_{0}^{1} \! \sqrt{1 - x^2} \,[/mm]
> dx = [mm]\int_{0}^{1} \! \sqrt{1- \cos^2 (u) }[/mm] ( - [mm]\sin(u)[/mm] ) [mm]\,[/mm]
> du
> Wende nun den trigonometrischen Pythagoras an, und der
> Fisch ist gegessen...
Nein. Auch Du hast die Integrationsgrenzen nicht substituiert !
FRED
>
>
> Gruß
> Cluso
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 17.02.2013 | | Autor: | Tyson |
[mm] \integral_{1}^{0} [/mm] sin u * -sin [mm] u\, [/mm] du =
-1* [mm] \integral_{1}^{0} 1-cos^2(u) \, [/mm] du
-1*[ [mm] u+sin^2 [/mm] u ] = -1
Ist jetzt der Fisch gegessen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 So 17.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tyson!
Der Fisch scheint mir noch lange nicht gegessen. Deine vermeintlichen Stammfunktionen kannst Du auch immer schnell mittels Ableiten selber kontrollieren.
Wie auch schon mehrfach angemerkt: bei einer bestimmten Integration mit Substitution musst Du auch die Integrationsgrenzen mit substituieren.
Oder Du löst das Integral ohne Grenzen; d.h. als unbestimmtes Integral.
Ich zeige Dir jetzt mal (als unbestimmtes Integral) die Lösung für [mm]\integral{\sin^2(u) \ du}[/mm] . Im ersten Schritt wenden wir partielle Integration an:
[mm]\integral{\sin^2(u) \ du} \ = \ \integral{\sin(u)*\sin(u) \ du} \ = \ \sin(u)*[-\cos(u)]-\integral{-\cos(u)*\cos(u) \ du} \ = \ -\sin(u)*\cos(u)+\integral{\cos^2(u) \ du}[/mm]
Nun ersetzen wir [mm]\cos^2(u) \ = \ 1-\sin^2(u)[/mm] :
[mm]\integral{\sin^2(u) \ du} \ = \ -\sin(u)*\cos(u)+\integral{1-\sin^2(u) \ du} \ = \ -\sin(u)*\cos(u)+\integral{1 \ du}-\integral{\sin^2(u) \ du}[/mm]
[mm]\integral{\sin^2(u) \ du} \ = \ -\sin(u)*\cos(u)+u-\integral{\sin^2(u) \ du}[/mm]
Nun rechnen wir auf beiden Seiten [mm]+\integral{\sin^2(u) \ du}[/mm] und erhalten:
[mm]2*\integral{\sin^2(u) \ du} \ = \ -\sin(u)*\cos(u)+u[/mm]
Division durch 2 liefert dann endlich das Ergebnis / die Stammfunktion für [mm]\integral{\sin^2(u) \ du}[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 17.02.2013 | | Autor: | Tyson |
Ah danke.
ABer die integrationsgrenzen ändern sich ja so:
cos(0) = 1
cos (1) = 0
Was ist hieran falsch?
Das sehe ich einfach nicht.
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Hallo,
> Ah danke.
>
> ABer die integrationsgrenzen ändern sich ja so:
>
> cos(0) = 1
>
> cos (1) = 0
>
> Was ist hieran falsch?
Woher hast du cos(1)=0? Wenn dein TR das sagt (egal in welcher Einstellung): dann gib ihn zurück und verlange dein Geld zurück. Sage, dein Name sei Tyson. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 17.02.2013 | | Autor: | Tyson |
Oh stimmt cos(1) = fast 1
Wären dann die grenzen zweimal 1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 So 17.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Oh stimmt cos(1) = fast 1
>
> Wären dann die grenzen zweimal 1?
würfle sie aus.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 So 17.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tyson!
Zeichne Dir mal die cos-Funktion auf. Dann solltest Du schnell erkennen:
[mm]\cos(0) \ = \ 1[/mm]
[mm]\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) \ = \ 0[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Oh stimmt cos(1) = fast 1
Boa ey !
Was studierst Du denn ? Sag mir den Tag X, an dem Du Deinen Abschluß hast
Wenn Du Flugzeugbau studierst, fliege ich ab Tag X nie wieder
Aber was mach ich ab Tag X, wenn Du Bauingenieurwesen studierst ?
Warum habe ich gerade solche Bilder wie dieses
http://3.bp.blogspot.com/-cSCYTuBGp-E/T4L50sR2DzI/AAAAAAAAAFQ/jcfWGV9Vsjk/s1600/attachment18.jpeg
vor Augen ?
FRED
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> Wären dann die grenzen zweimal 1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 So 17.02.2013 | | Autor: | Tyson |
cos (1) = 0,99984
Ich glaube ich studiere Flugzeugbau damit du aufhörst zu fliegen.
P:S
Nur witz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 So 17.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Tyson,
> cos (1) = 0,99984
>
> Ich glaube ich studiere Flugzeugbau damit du aufhörst zu
> fliegen.
>
> P:S
>
> Nur witz
mach das, mach das. Mach so weiter: und du wirst deinen Kampf gegen die Mathematik verlieren, entweder nach Punkten, oder durch technischen KO.
PS: auch ein Witz
Kein Witz: schon mal etwas vom ![[]](/images/popup.gif) Bogenmaß gehört?
Gruß, Diophant
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