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| Aufgabe | Hallo an alle!
Berechne [mm] $\integral{\wurzel{a^2-x^2} dx}$! [/mm] |
Kònnte mir bitte bitte jemand einen Tipp geben?
Mir fehlt die Multiplikation mit $x$, ansonsten kònnte ich substituiren.
Danke danke an alle!
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Hallo Sonnenblume,
Substitution ist hier tatsächlich das Thema.
> Berechne [mm]\integral{\wurzel{a^2-x^2} dx}[/mm]!
> Kònnte mir bitte
> bitte jemand einen Tipp geben?
> Mir fehlt die Multiplikation mit [mm]x[/mm], ansonsten kònnte ich
> substituiren.
Substituiere [mm] u=a\sin{x}
[/mm]
Später hilft es noch zu wissen, dass [mm] \cos{(2u)}=2\cos^2{(u)}-1 [/mm] ist.
Allerdings wird nach der noch eher einfachen Integration die Rücksubstitution wenig spaßig, aber ich sehe gerade keinen anderen Weg, wie man die Aufgabe sonst löst.
Das ist ein typisches Integral, das man in einer Integrationstafel nachsieht... Genau daher kenne ich auch die Lösung. 
Grüße
reverend
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Wenn du eine schöne (ist sie das?) Lösung mit Schritten haben möchtest, dann sieh sie dir in Wolfram Alpha an. Da ist der erste Schritt die Substitution, wie sie dir schon vorgeschlagen wurde.
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Hallo!
Danke an alle.
Habe das Integral mit Wolfram Alpha ausgerechnet. Mir ist aber die Rùcksubstitution etwas unklar:
Man substituiert: [mm] $x=a\sin(u)$, [/mm] daraus: [mm] $u=\arcsin(\bruch{x}{a})$.
[/mm]
Ein Teil des Ergenisses des Integrals "mit u" lauetet: [mm] $a^2\bruch{\sin(2u)}{4}$.
[/mm]
Wolfram Alpha schreibt dann nach der Rùcksubstitution: [mm] $\bruch{ax}{2}\sqrt{1-\bruch{x^2}{a^2}}$.
[/mm]
Kònnte mir bitte bitte jemand diesen letzten Schritt erklàren?
Danke an alle.
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> Hallo!
> Danke an alle.
>
> Habe das Integral mit Wolfram Alpha ausgerechnet. Mir ist
> aber die Rùcksubstitution etwas unklar:
> Man substituiert: [mm]x=a\sin(u)[/mm], daraus:
> [mm]u=\arcsin(\bruch{x}{a})[/mm].
Hallo,
> Ein Teil des Ergenisses des Integrals "mit u" lauetet:
> [mm]a^2\bruch{\sin(2u)}{4}[/mm].
[mm] =a^2*\bruch{2\sin(t)\cos(t)}{4}
[/mm]
[mm] =a^2*\bruch{2\sin(t)\wurzel{1-sin^2t}}{4}
[/mm]
LG Angela
> Wolfram Alpha schreibt dann nach der Rùcksubstitution:
> [mm]\bruch{ax}{2}\sqrt{1-\bruch{x^2}{a^2}}[/mm].
> Kònnte mir bitte bitte jemand diesen letzten Schritt
> erklàren?
>
> Danke an alle.
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> Berechne [mm]\integral{\wurzel{a^2-x^2}\ dx}[/mm] !
> Könnte mir bitte bitte jemand einen Tipp geben?
Hallo Sonnenblume,
man könnte sich für diese Aufgabe auch einen Weg ohne
Integralrechnung, stattdessen mit Elementargeometrie
vorstellen !
Die Kurve mit der Gleichung $\ y\ =\ [mm] \sqrt{a^2-x^2}$
[/mm]
ist der Halbkreis mit Radius a und (Kreis-)Mittelpunkt (0|0)
oberhalb der x-Achse. Der Definitionsbereich (für reelle y)
ist das Intervall [-a , a] .
Die Stammfunktion wird (für 0<x<a) dargestellt durch
den Flächeninhalt des Gebietes zwischen x-Achse, Halb-
kreis und den Geraden [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_1=x [/mm] .
Diesen Flächeninhalt kann man elementargeometrisch
berechnen durch Addition der Flächeninhalte eines
rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten x und [mm] \sqrt{a^2-x^2}
[/mm]
und eines Kreisektors mit Radius a und Zentriwinkel
[mm] $\varphi\ [/mm] =\ [mm] arcsin\left(\frac{x}{a}\right)$
[/mm]
So erhält man die Stammfunktion
$\ F(x)\ =\ [mm] \underbrace{\frac{1}{2}*x*\sqrt{a^2-x^2}}_{Dreiecksfl\ddot ache}\ [/mm] +\ [mm] \underbrace{\frac{1}{2}*a^2*arcsin\left(\frac{x}{a}\right)}_{Sektorfl\ddot ache}$ [/mm]
$\ F(x)\ =\ [mm] \frac{1}{2}*\left(x*\sqrt{a^2-x^2}\ +\ a^2*arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\right)$ [/mm]
Diese ist dann nicht nur für [mm] 0
[mm] -a\le{x}\le{a} [/mm] .
LG Al-Chwarizmi
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