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Hi,
Ich habe folgendes Problem:
Wir behandeln zZ den Haupsatz der Differential und Integralrechnung in der Schule.
Jedoch habe ich im mom keine Ahnung, was eine Stammfunktion, Integralfunktion und eine Integrantenfunktion ist!
Könnte mir das vll jemand an der Funktion [mm] x^{2} [/mm] + 2 erklären oder mir einen Tipp geben?
Ausserdem besagt der HDI ja auch, wie diese miteinander zusammenhängen. Kann mir dazu vll auch jemand einen Tipp geben, wie ich das am besten verstehen könnte?
mfg, Michael
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> Hi,
> Ich habe folgendes Problem:
> Wir behandeln zZ den Haupsatz der Differential und
> Integralrechnung in der Schule.
> Jedoch habe ich im mom keine Ahnung, was eine
> Stammfunktion, Integralfunktion und eine
> Integrantenfunktion ist!
> Könnte mir das vll jemand an der Funktion [mm]x^{2}[/mm] + 2
> erklären oder mir einen Tipp geben?
> Ausserdem besagt der HDI ja auch, wie diese miteinander
> zusammenhängen. Kann mir dazu vll auch jemand einen Tipp
> geben, wie ich das am besten verstehen könnte?
hallo Michael,
Du kennst den Begriff "Ableitungsfunktion". Ist f
eine differenzierbare Funktion, so ist die Funktion f',
definiert durch
[mm] f'(x)=\limes_{h\to 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
die Ableitungsfunktion von f.
Umgekehrt nennt man in diesem Fall die Funktion f
eine "Stammfunktion" der Funktion f'.
Wichtig ist dabei zu beachten, dass die Ableitungs-
funktion f' eindeutig bestimmt ist (falls f überhaupt
ableitbar ist).
Bei der Bestimmung einer Stammfunktion zu einer
vorliegenden Funktion hat man aber stets die Freiheit,
noch eine beliebige additive Konstante dazuzunehmen.
Ein "Integrand" ist eine zu integrierende Funktion,
also die Funktion, die im Integral drin steht. Um das
Integral auszuführen, sucht man dann eine Stamm-
funktion dazu.
An deinem Beispiel:
$\ [mm] f(x)=x^2+2$ [/mm] gegebene Funktion
[mm] $\integral [/mm] f(x)\ dx\ =\ [mm] \integral (\underbrace{x^2+2}_{Integrand})\ [/mm] dx$ gesuchtes unbestimmtes Integral
[mm] $\integral_{1}^{4}f(x)\ [/mm] dx\ =\ [mm] \integral_{1}^{4}(x^2+2)\ [/mm] dx$ gesuchtes bestimmtes Integral
Die "einfachste" Stammfunktion zu f ist F mit:
[mm] F(x)=\bruch{1}{3}x^3+2*x [/mm] es gilt $\ F'(x)=f(x)$
allgemeine Stammfunktion zu f: $\ F(x)\ =\ [mm] \bruch{1}{3}x^3+2*x+C$ (C\in \IR)
[/mm]
Für das unbestimmte Integral kann man dann schreiben:
[mm] $\integral [/mm] f(x)\ dx\ =\ [mm] \integral (x^2+2)\ [/mm] dx\ =\ F(x)+C\ =\ [mm] \bruch{1}{3}x^3+2*x+C$
[/mm]
und für das bestimmte Integral:
[mm] $\integral_{1}^{4}f(x)\ [/mm] dx\ =\ [mm] \integral_{1}^{4}(x^2+2)\ [/mm] dx\ =\ F(x) [mm] \big{|}_{1}^{4}\ [/mm] =\ F(4)-F(1)\ =\ [mm] \bruch{88}{3}-\bruch{7}{3}\ [/mm] =\ 27$
LG al-Chw.
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ok, soweit denke ich habe ich es verstanden.
als HDI haben wir aufgeschrieben:
[mm] F_{a}'(x) [/mm] = [mm] (\integral_{a}^{x}{f(t) dt})' [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx} \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] = f(x)
und als wörtliche Übersetzung dazu:
- Die Ableitung der Integralfkt. ergibt die Integrandenfunktion
- Die Integralfkt einer stetigen Integrandenfkt ist differenzierbar
- Die Ableitung ergibt wieder die Integrandenfunktion
- Jede Integralfkt ist eine Stammfunktion
Ich komm da irgendwie total mit den Begriffen Integralfkt und Integrandenfkt durcheinander :(
Mit Stammfunktione bezeichnet man doch F(x) in dem Fall oder?
Als Folgerung aus dem HDI haben wir dann noch das notiert:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = F(b) - F(a)
und als wörtliche übersetzung:
Möchte man ein bestimmtes Integral berechnen, muss man nur eine beliebige Stammfunktion zur Integrandenfkt. finden, dann obere und untere Grenze in die Stammfkt. einsetzen und die Werte voneinander subtrahieren.
Das verstehe ich grundsätzlich, jedoch weiß ich wieder nicht, was er mit Integrandenfkt meint.
Ich denke bei mir scheiterts hauptsächlich an den Begriffen Integral und Integrandenfkt, da wir auch nie expliziet aufgeschrieben haben was was ist. Deshalb würde ich mich über nen tipp oder ne kleene erklärung freuen.
Danke auch dem Vorposter!
mfg, michael
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> ok, soweit denke ich habe ich es verstanden.
>
> als HDI haben wir aufgeschrieben:
>
> [mm]F_{a}'(x)[/mm] = [mm]\left(\integral_{a}^{x}{f(t) dt}\right)'[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx} \integral_{a}^{x}{f(t) dt}= f(x)[/mm]
>
>
> und als wörtliche Übersetzung dazu:
> - Die Ableitung der Integralfkt. ergibt die
> Integrandenfunktion
als Formel also: [mm] F_a'(x)=f(x)
[/mm]
> - Die Integralfkt einer stetigen Integrandenfkt ist
> differenzierbar
im Klartext: wenn f stetig ist, so ist [mm] F_a(x)=\integral_a^x [/mm] f(t)dt
differenzierbar, d.h. F' existiert
> - Die Ableitung ergibt wieder die Integrandenfunktion
nochmals: [mm] F_a'=f
[/mm]
> - Jede Integralfkt ist eine Stammfunktion
Wenn [mm] F_a(x)=\integral_{a}^{x}f(t)\ [/mm] dt, so gilt
unabhängig vom Wert von a stets F'=f
> Mit Stammfunktion bezeichnet man doch F(x) in dem Fall
> oder?
ja - genau: eine Funktion, deren Ableitung gleich f ist
>
> Als Folgerung aus dem HDI haben wir dann noch das notiert:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = F(b) - F(a)
>
> und als wörtliche übersetzung:
> Möchte man ein bestimmtes Integral berechnen, muss man nur
> eine beliebige Stammfunktion zur Integrandenfkt. finden,
> dann obere und untere Grenze in die Stammfkt. einsetzen und
> die Werte voneinander subtrahieren.
>
> Das verstehe ich grundsätzlich, jedoch weiß ich wieder
> nicht, was er mit Integrandenfkt meint.
die Funktion f(x) !
>
> Ich denke bei mir scheiterts hauptsächlich an den Begriffen
> Integral und Integrandenfkt, da wir auch nie explizit
> aufgeschrieben haben was was ist.
Integralfunktion und Stammfunktion sind nach dem HDI also
synonym, gleichbedeutend.
Ein Unterschied in der Benennungsweise wird gemacht,
weil sie ursprünglich auf verschiedene Weise definiert
sind: die Integralfunktion entsteht als Grenzwert von
Riemannschen Summen, die Stammfunktion ist einfach
eine Funktion F mit der Eigenschaft F'=f.
Im HDI wird aber gerade gezeigt, dass die verschiedenen
Zugänge zum selben Ziel führen, also
Integralfunktion=Stammfunktion.
Die Integrandenfunktion ist die Funktion f, welche
im Integral [mm] $\integral [/mm] f(x)\ dx$ steht und also
integriert werden soll.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 So 14.12.2008 | | Autor: | DjHighlife |
so..nu hab ichs kapiert!
hätt ich gewusst, dass es so einfach ist......^^
vielen dank nochmal
mfg, Michael
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