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| Aufgabe | | Welche Fläche wird durch die Funktion [mm] y=(x^2)-3, [/mm] deren Normale im Punkt x=3 und der y-Achse begrenzt? |
Ich hatte diese Aufgabe im Test und konnte sie nicht lösen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Di 12.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mach dir mal ne Skizze, dann siehst du, welche Fläche gemeint ist. Und dann integriere entsprechend.
Marius
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Ich muss da es von der Y-Achse und nicht von der X-Achse begrenzt wird, auch die negative Fläche dazuzählen.
Wie lautet der Intervall?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ohne dass du ne Skizze machst geht nix. dann hast du ein Stueck unter der x Achse von 0 bis?
dazu den Teil drueber, aus was besteht der? Du hast ne geradlinige Flaeche (Trapez, von der du noch was abziehen musst.
Gruss leduart
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Es gibt da eine kleine Änderung. Also es lautet nicht x=3 sondern x=sqrt(3) da dies einfacher sein sollte zum lösen.
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Hallo Blackkilla,
> Es gibt da eine kleine Änderung. Also es lautet nicht x=3
> sondern x=sqrt(3) da dies einfacher sein sollte zum lösen.
Das ändert nicht viel am Prinzip.
Das wichtigste ist die Skizze, mache die mal.
Dann brauchst du die Normale an den Graphen von f im Punkt [mm] $P=(\sqrt{3},0)$.
[/mm]
Die Normale in P ist die Senkrechte zur Tangente in P, bestimme also die Normalengleichung.
Dazu weißt du:
1) P liegt auf der Normalen
2) die Steigung der Normalen ist ...
(wie verhalten sich die Steigungen zweier senkrechter Geraden zueinander, wie ist ihr Produkt?)
Dann hast du zum einen die Fläche der Parabel im Bereich 0 bis [mm] \sqrt{3} [/mm] (unterhalb der x-Achse) und einen Teil oberhalb der x-Achse, der von der Normalen herrührt.
Welches Gebilde ist das?
Wie berechnet man die Fläche?
Dann beide Flächenanteile zusammensetzen.
Bei neg. Flächeninhalten nimm den Betrag!
Aber wie meine Vorredner schon sagten: mache eine Skizze und es ist beinehe selbsterklärend
LG
schachuzipus
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Gibt es ein Programm? Oder kann mir jemand netterweise ma ne Skizze einfügen?
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Hallo nochmal,
> Gibt es ein Programm? Oder kann mir jemand netterweise ma
> ne Skizze einfügen?
Also bitte, du kannst doch wohl per Hand eine leicht verschobene Normalparabel und eine Gerade zeichnen, oder nicht?
[mm] $f(x)=x^2-3$ [/mm] ist eine um 3 nach unten verschobene NP, die genau in [mm] $x=\sqrt{3}$ [/mm] eine NST hat, daran zeichne (oder denke dir) die Tangente und zeichne die Sekrechte zu dieser Tangente in [mm] $x_0=\sqrt{3}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Also als Normalengleichung erhalte ich
y=0
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Hallo nochmal,
> Also als Normalengleichung erhalte ich
>
> y=0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt nicht.
Dann wäre die Tangente in [mm] $x_0=\sqrt{3}$ [/mm] eine Parallele zur y-Achse, was sie nicht ist.
Ich hatte dir schon gesagt, wie du die Steigung der Normalen (mittels der Tangentensteigung) im Punkt [mm] $x_0=\sqrt{3}$ [/mm] ausrechnen kannst.
Zeige mal deine Rechnung... wie kommst du auf $y=0$ für die Normale?
Gruß
schachuzipus
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Also ich leitete die Funktion ab, was 2x gibt. Dies entspricht der Steigung der Tangente also m.
Bei der Normale ist die Steigung ja -1/m
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Hallo, so ist es, also berechne [mm] f'(\wurzel{3}), [/mm] Steffi
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Ich sehe momentan nicht, wo ich den Fehler habe.
m=2*sqrt(3)
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Hallo, der Anstieg deiner Funktion an der Stelle [mm] \wurzel{3} [/mm] beträgt [mm] m_f=2\wurzel{3}, [/mm] ist doch korrekt, jetzt gilt [mm] m_f*m_n=-1, [/mm] wobei [mm] m_n [/mm] der Anstieg der Normalen ist, Steffi
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Hallo, ja das hab ich alles so.
Wenn ich dann auf q auflöse dann gibt es dort 0,5.
Wenn ich für x sqrt(3) einsetze, muss ich ja für y 0 einsetzen?
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Hallo, die Normale genügt der Gleichung
[mm] f_n(x)=m_n*x+q
[/mm]
q=0,5 hast du richtig gefunden, also hast du sicherlich auch dein [mm] m_n, [/mm] gebe doch mal die vollständige Normalengleichung an, dann überlege dir, welche Flächen zu berechnen sind, die Skizze ist also zwingend notwendig, hast du kein Programm, gehe über die Wertetabelle, setze -0,5; 0; 0,5; 1; 1,5; 2 ein
Steffi
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Als Normalengleichung habe ich
y=(-1/m)*x+q
y=(-1/2x)*x+0,5
Egal was ich für x einsetze, gibt es ja schlussendlich y=0
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Hallo, der Anstieg deiner Funktion an der Stelle [mm] \wurzel{3} [/mm] war doch [mm] m_f=2\wurzel{3}, [/mm] weiterhin gilt [mm] m_f*m_n=-1, [/mm] was bedeutet [mm] m_n=-\bruch{1}{2\wurzel{3}}
[/mm]
Normale [mm] f_n(x)=-\bruch{1}{2\wurzel{3}}*x+0,5
[/mm]
Steffi
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Ich dachte immer die Gleichung laute:
y=(-1/m)*x+q
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Hallo, na klar, ader [mm] -\bruch{1}{m} [/mm] ist doch ganz konkret zu berechnen, Steffi
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Ok Vielen Dank.
Ist das richtig, wie ich Flächen berechne?
Also ich nehme die Funktion [mm] ((x^2)-3) [/mm] diese integriere ich von 0 bis sqrt(3).
Dazu addiere ich die Resultat, die erhalte wenn ich die Normalengleichung integriere, diese auch von 0 bis sqrt(3)
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Hallo, kannst du so machen, setze zur Sicherheit alles in Betragsstriche, Steffi
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Wenn ich die [mm] (x^2)-3 [/mm] von 0 bis sqrt(3) integriere erhalte ich 3,464
Wenn ich dann die Normalengleichung (-1/2*sqrt(3))+0,5 von 0 bis sqrt(3) integriere erhalte ich 0,366
Wenn man die beiden Ergebnisse zusammenzählt, erhält man ja die Fläche, hier also: 3,8
Stimmt irgendwie nicht oder?
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Hallo, rechne aber nicht in Dezimalbrüche um, du hast dann ja nur gerundete Werte, also
[mm] 2\wurzel{3} [/mm] bei deiner Parabel ist korrekt, überprüfe mal bitte deine Rechnung zur Normalen, du kannst dabei auch über ein rechtwinkliges Dreieck gehen,
Steffi
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Nicht in Dezimalbrüchen? Meinst ich soll z.b 3,8 aufrunden auf 4?
Sorry, aber kannst du mal aufschreiben, was ich von wo bis wo integrieren muss um die Fläche zu erhalten.
Die Lösung sollte glaube ich 8 ergeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Mi 13.05.2009 | | Autor: | blackkilla |
Müsste ich die Lösung, die ich erhalte mit 2 multiplizieren?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> Nicht in Dezimalbrüchen? Meinst ich soll z.b 3,8 aufrunden
> auf 4?
>
> Sorry, aber kannst du mal aufschreiben, was ich von wo bis
> wo integrieren muss um die Fläche zu erhalten.
Hast du endlich die Skizze gemacht?
Die Fläche besteht aus zwei Teilen, einen Teil (unterhalb der x-Achse) berechnest du als $\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}f(x) \ dx}$ - im Betrag, weil's sonst negativ ist.
Der andere Teil wird von der x-Achse und der Normalen eingeschlossen.
Berechne den Schnittpunkt der Normalen mit der y-Achse.
Das Flächengebilde ist ein Dreieck, eine Seite hat die Länge $\sqrt{3}$, klar, das ist die rechte untere Ecke.
Die andere Seitenlänge ergibt sich als Länge vom Ursprung bis zum Schnittpunkt der Normalen mit der y-Achse.
Am Ende beide Flächen addieren und du hast es ...
Aber das hatte ich oben schon geschreiben ....
LG
schachuzipus
>
> Die Lösung sollte glaube ich 8 ergeben.
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Also die negative Fläche kapier ich. Und die oberhalb wird ja von der Y-Achse und der Normale eingeschlossen?! Dann muss ich (-1/2sqrt(3))+0,5 auch von 0 bis sqrt(3) integrieren.
Denn da die Fläche von der Y-Achse begrenzt wird und beim Schnittpunkt x ja 0 ist.
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Hallo nochmal,
du hast es dir immer noch nicht aufgemalt, oder?
Um die "obere" Fläche, also die, die von der Normalen durch [mm] $\sqrt{3}$, [/mm] der x-Achse und der y-Achse eingeschlossenen Fläche, zu berechnen, brauchst du keine Integralrechnung.
Ich habe die Faxen dicke und stelle dir ne Skizze rein, das muss hier mal zum Ende kommen.
Steffi hat dir etwas höher schon die Normalengleichung hingeschrieben - suche sie ...
Dann solltest du den Schnittpunkt der Normalen mit der y-Achse bestimmen ....
Und ne Dreiecksfläche ist die Hälfte einer Rechtecksfläche
Das kannst du doch mit 2 bekannten Seiten berechnen ...
Hier das Bilchen ... grün: Tangente, blau: Normale
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Sorry. Skizze hab ich schon lange. Aber wir haben immer alles integriert. Und nie so einfach, ne Fläche von nem Dreieck berechnet. Sondern immer den Umweg genommen.
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Ich vermute genau diese Normalengleichung ist mein Problem.
Wie lautet die korrekt? Denn ich muss ja bei x dann 0 einsetzen und dann krieg ich y, und so auch die 2. seitenlänge.
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Hallo nochmal,
nochmal zusammengefasst:
Die Steigung der Tangente im Punkt [mm] $x_0=\sqrt{3}$ [/mm] ist [mm] $f'(\sqrt{3})=2\sqrt{3}$
[/mm]
Die Normale [mm] $f_n$ [/mm] steht senkrecht darauf, für die Steigung der Normalen [mm] $m_n$ [/mm] gilt also [mm] $2\sqrt{3}\cdot{}m_n=-1$ [/mm] bzw umgestellt nach [mm] $m_n$:
[/mm]
[mm] $m_n=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$
[/mm]
Die Normale ist eine Gerade, hat also die Form [mm] $f_n(x)=m_n\cdot{}x+b=-\frac{1}{2\sqrt{3}}x+b$
[/mm]
Wir wissen, dass der Punkt [mm] $P=(\red{\sqrt{3}},\blue{0})$ [/mm] auf der Normalen liegt, das eigesetzt:
[mm] $f_n(\red{\sqrt{3}})=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\red{\sqrt{3}}+b=-\frac{1}{2}+b=\blue{0}$
[/mm]
Also [mm] $b=\frac{1}{2}$
[/mm]
Damit lautet die Normalengl.: [mm] $f_n(x)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{1}{2}$
[/mm]
Für den Rest siehe die andere Antwort von vor ein paar Minuten
LG
schachuzipus
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Hallo noch einmal,
> Sorry. Skizze hab ich schon lange. Aber wir haben immer
> alles integriert. Und nie so einfach, ne Fläche von nem
> Dreieck berechnet. Sondern immer den Umweg genommen.
Na, ok.
Der SP mit der y-Achse ist ersichtlich [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] - rechne es nach
Ich finde, dass die "obere" Fläche sich als [mm] $\frac{\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ [/mm] doch recht bequem berechnen lässt im Vergleich zu [mm] $\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{1}{2}\right) \ dx}$
[/mm]
Das wäre die Fläche als Integral der Normalen von 0 bis [mm] \sqrt{3}
[/mm]
Du kannst es ja zur Übung mal berechnen, es sollte unbedingt dasselbe wie mit der geometrischen Berechnung rauskommen 
Wie dem auch sei, du kannst dich für einen Weg entscheiden ..
LG
schachuzipus
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Mal schauen, ich entscheide mich mal für die geometrische. Mal gucken was sie sagt, vielleicht sieht sie ein, dass die einfachere ausreicht.
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Hallo nochmal,
> Mal schauen, ich entscheide mich mal für die geometrische. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist eine gute Entscheidung, es ist nicht nur die einfachere und schnellere Methode, sondern auch die weitaus elegantere
> Mal gucken was sie sagt, vielleicht sieht sie ein, dass die
> einfachere ausreicht.
Du kannst es ja sicherheitshalber mit dem [mm] $(\star)$ [/mm] markieren und dazuschreiben, dass es auch über das o.e. Integral zu lösen ist und die Rechnung dazuschreiben, so wild ist das auch nicht ..
Also bis dann und viel Erfolg
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Mi 13.05.2009 | | Autor: | blackkilla |
Hat sich erledigt. Ich muss nur noch ausrechnen. VIELEN VIELEN Dank, dass du dir soviel Zeit genommen hast, um mir diese einfache Aufgabe zu erklären.
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Wie lautet die Antwort? Hast du auch 3,89?
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Hallo nochmal,
> Wie lautet die Antwort? Hast du auch 3,89?
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Ich würde es "ungerundet" schreiben als [mm] $2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{9}{4}\sqrt{3}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:00 Do 14.05.2009 | | Autor: | blackkilla |
Ich könnte schwören, ich hätte bei jemandem die Lösung 8 gesehen. Aber wenn du auch dieselbe Resultat erhalten hast, dann bin ich happy!
Gute Nacht und nochmals vielen Dank für deine Hilfe.
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