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Kleine Frage nur^^ :
hab keine ahnung wie man mit Intregralen umgeht aber vlt kann mir jemand schnell weiterhelfen:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 1 bei f(x) = 1 oder?
[mm] \integral_{0}^{1}{x^{2} dx} [/mm] was wäre das wenn ich für x keinen festen wertbetrachte?
hmm k ich hab x-1 im zähler und x-1 im nenner, dann hab ich wieder 1. ist denke ich n gutes ergebnis oder?^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Kleine Frage nur^^ :
> hab keine ahnung wie man mit Intregralen umgeht aber vlt
> kann mir jemand schnell weiterhelfen:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] = 1 bei f(x) = 1 oder?
Ja
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^{2} dx}[/mm] was wäre das wenn ich für x
> keinen festen wertbetrachte?
Was Du damit meinst , ist mir nicht klar.
Meinst Du sowas: [mm]\integral_{}^{}{x^{2} dx}[/mm] ?
Wenn ja: [mm]\integral_{}^{}{x^{2} dx}= \bruch{1}{3}x^3 ~(+C)[/mm] (Stammfunktion)
FRED
>
>
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um es genauer auszzudrücken:
hab ne Skalaprodukt vorschrift gegeben mit
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x)\* g(x) dx}
[/mm]
dabei ist g(x) = f(x) = x also wie ich schrieb eig [mm] x^{2} [/mm] und das Integral ist wirklich so begrenzt mit 0 und 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> um es genauer auszzudrücken:
>
> hab ne Skalaprodukt vorschrift gegeben mit
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)\* g(x) dx}[/mm]
>
> dabei ist g(x) = f(x) = x also wie ich schrieb eig [mm]x^{2}[/mm]
> und das Integral ist wirklich so begrenzt mit 0 und 1.
Du wolltest Dich genauer ausdrücken. Das ging aber in die Hose. Was ist Deine Frage ?
FRED
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^^ wie ich dieses Integral berechnen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> ^^ wie ich dieses Integral berechnen kann
Dazu müßte ich wissen, was Ihr bislang zum Thema "Integralrechnung" gemacht habt
Z.B.: bestimme eine Stammfunktion F von [mm] x^2. [/mm] Damit ist
$ [mm] \integral_{0}^{1}{x^{2} dx} [/mm] =F(1)-F(0)$
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Fr 13.01.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi,
Du probierst nun das umzuschreiben : [mm] \integral{x^2}dx=\integral{x*x}dx.
[/mm]
Das kannst du auch tun, aber dann musst du partielle Integration durchführen. Ich denke nicht, dass das der Sinn der Aufgabe ist, aber hier, falls du das ausprobieren willst :
[mm] \integral_{a}^{b}{f'(x)*g(x) dx}=[f(x)*g(x)]_{a}^{b}-\integral_{a}^{b}{f(x)*g'(x) dx} [/mm]
edit : Habs den eher nicht so korrekten Teil rausgenommen.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
Hi,
unten sind so viele Fehler drin, dass Du damit sicherlich niemandem geholfen hast !
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=[F(b)-F(a)]+C[/mm] mit F als
> Stammfunktion von f.
> Du willst nun also [mm]\integral_{0}^{1}{x^2 dx}.[/mm] Berechnen
> wir es ersteinmal ohne Grenzen.
> [mm]\integral{x^2}dx[/mm]
> Du solltest dir immer Gedanken darüber machen, wie dein
> Integral wohl aussehen wird. Vorallem kannst du es immer
> mit der Probe machen. Hier : [mm]\integral{x^2}dx:=Ergebnis \Rightarrow (Ergebnis)'=\integral{x^2}dx.[/mm]
Falsch ! Richtig:
[mm]\integral{x^2}dx=Ergebnis \Rightarrow (Ergebnis)'=x^2.[/mm]
> In dem Fall hat dir Fred schon erklärt, dass das Ergebnis
> [mm]\bruch{1}{3}x^3[/mm] + C sein muss. Wenn du etwas darüber
> nachdenkst wirst du auch merken, dass das klappt, oder du
> machst die Probe :
> [mm](\bruch{1}{3}x^3)'=3*\bruch{1}{3}x^{3-1}=x^2.[/mm] Jetzt zu den
> Grenzen : [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=[F(b)-F(a)]+C.[/mm]
Falsch. Richtig:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a)
[/mm]
> Also :
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^2 dx}[/mm] = [F(1)-F(0)] = [mm][1^2-0^2]=1[/mm] + C.
Falsch. Richtig:
[mm]\integral_{0}^{1}{x^2 dx}[/mm] = [F(1)-F(0)] = [mm] $\bruch{1}{3}*1^3-\bruch{1}{3}*0^3=\bruch{1}{3}$
[/mm]
> Hier bist du eigt. fertig und das ist auch der schnellste
> Weg. Du probierst nun das umzuschreiben :
> [mm]\integral{x^2}dx=\integral{x*x}dx.[/mm]
> Das kannst du auch tun, aber dann musst du partielle
> Integration durchführen. Ich denke nicht, dass das der
> Sinn der Aufgabe ist, aber hier, falls du das ausprobieren
> willst :
> [mm]\integral_{a}^{b}{f'(x)*g(x) dx}=[f(x)*g(x)]_{a}^{b}-\integral_{a}^{b}{f(x)*g'(x) dx}[/mm] + C.
Falsch. Richtig:
[mm]\integral_{a}^{b}{f'(x)*g(x) dx}=[f(x)*g(x)]_{a}^{b}-\integral_{a}^{b}{f(x)*g'(x) dx}[/mm]
FRED
>
> Gruß
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k danke erstmal dafür, wobei ich schwierigkeiten habe mit dem c dadrinne.
vlt ein paar mehr angaben, (ich wollte nicht mehr verraten weil ich erhoffte die aufgabe so gut wie selbstständig zu lösen..)
ich hab nen Untervektorraum, von V (V sei VR der reellen stetigen Fkt. mit dem Skalarprodukteigenschaft [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) \* g(x) dx} [/mm] = (f|g))
Der Unterraum bezeichnet die reellen Polynomfkt. von höchstgrad 2)
also was ich mir erschlossen habe.. Basis [mm] {1,x,x^{2}} [/mm] , dim (w) = 3
jetzt soll ich die orthonormale Basis von W bestimmen, dazu hab ich das mittel gram schmidt verfahren, wie folgt bin ich dran gegangen.
[mm] b_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{||1||} [/mm] wobei ja nach vorschrift im Nenner [mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}{f(x) \* g(x) dx}} [/mm] habe, also insgesamt 1.
für [mm] b_{2} [/mm] sprich [mm] \bruch{x}{||x||} [/mm] habe ich wie gesagt das problem jetzt mit der vorschrift zur skalarproduktberechnung...
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äh sry [mm] b_{2} [/mm] berechnet sich natürlich noch anders nur bei dem teil der berechnung harperts schon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> k danke erstmal dafür, wobei ich schwierigkeiten habe mit
> dem c dadrinne.
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> vlt ein paar mehr angaben, (ich wollte nicht mehr verraten
> weil ich erhoffte die aufgabe so gut wie selbstständig zu
> lösen..)
>
> ich hab nen Untervektorraum, von V (V sei VR der reellen
> stetigen Fkt. mit dem Skalarprodukteigenschaft
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) \* g(x) dx}[/mm] = (f|g))
>
> Der Unterraum bezeichnet die reellen Polynomfkt. von
> höchstgrad 2)
>
>
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> also was ich mir erschlossen habe.. Basis [mm]{1,x,x^{2}}[/mm] , dim
> (w) = 3
> jetzt soll ich die orthonormale Basis von W bestimmen,
> dazu hab ich das mittel gram schmidt verfahren, wie folgt
> bin ich dran gegangen.
>
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> [mm]b_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{||1||}[/mm] wobei ja nach vorschrift im Nenner
> [mm]\wurzel{\integral_{0}^{1}{f(x) \* g(x) dx}}[/mm] habe, also
> insgesamt 1.
>
>
> für [mm]b_{2}[/mm] sprich [mm]\bruch{x}{||x||}[/mm] habe ich wie gesagt das
> problem jetzt mit der vorschrift zur
> skalarproduktberechnung...
$||x||$ zu schreiben ist nicht so günstig. Du meinst die Norm des 2. Basiselementes g, wobei g(x):=x
Dann: $||g||= [mm] (g|g)^{1/2}= \wurzel{\integral_{0}^{1}{x^2 dx}}$
[/mm]
Dass [mm] \integral_{0}^{1}{x^2 dx}=1/3 [/mm] ist, hab ich Dir schon gesagt.
FRED
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super ;)
ich danke dir fred !
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kleine frage noch:
es ist doch legitim das gram - schmidt - verfahren anzuwenden oder?
mit der formel z.b. für [mm] b_{2} [/mm] ( [mm] b_{1} [/mm] war ja jetzt 1)
[mm] b_{2} [/mm] = [mm] \bruch{x - \* 1}{||x-\*1||}
[/mm]
das problem ist wenn ich <x,1> ausrechne hab ich ja [mm] (\bruch{1}{2})\*x^{2} [/mm] und wenn ich da F(1)-F(0) rechne habe ich ja im nener die [mm] \wurzel{(x-\bruch{1}{2})^{2}} [/mm] Kann das denn ungefähr hinkommen?
edit: k hab x-1/2 im zähler und im nenner also wieder 1^^ denke ist ein hübsches ergebnis, wenn aber ich die orthonormale basis aufschreibe und ich für [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] beides 1 raushabe, und [mm] b_{3} [/mm] werden wir sehen, darf ich dann eine 1 aus der basis rausschmeissen?
nochmal edit: darf ich vlt einfach die formel berechnung wie bei [mm] \bruch{1}{||1||} [/mm] machen ohne das gram schmidt verfahren? also ganz einfach?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> kleine frage noch:
> es ist doch legitim das gram - schmidt - verfahren
> anzuwenden oder?
es ist immer legitim, die Sachen anzuwenden, die man kennt und für nützlich hält, wenn man sich davon überzeugt hat, dass man die Voraussetzungen dafür erfüllt hat.
Gruß,
Marcel
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bin nicht sicher ob dir vor. erfüllt sind, nur meine frage ist da ich ja schon weiß dass ich ne basis betrachte also linear unabhängige elemente, dass ich da das verfahren gar nicht brauche sondern einfach mit allgemein
[mm] \bruch{a}{||a||} [/mm] arbeiten kann für alle, also 1 x und [mm] x^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst schon ein verfahren anwenden, was aus den 3 basisvektoren , die nicht orthogonal und nicht normal sind ein Orthonormalsystem zu machen, da ist gram.sch. das naheliegende.
Wenn du nur durch den Betrag teilst, sind die vektoren zwar normal d.h. ihr betrag ist 1 aber nicht senkrecht, denn <x,1>/ne0
dein nenner ist falsch! 1, das Skalarprodukt ist eine Zahl, 2.
du musst den betrag ausrechnen, und das ist <x-1/2 , x-1/2>
gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:38 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> mit der Probe machen. Hier : [mm]\integral{x^2}dx:=Ergebnis \Rightarrow \red{(Ergebnis)'=\integral{x^2}dx.}[/mm]
rechterhand ist das Integralzeichen (und natürlich dann [mm] $dx\,$) [/mm] zuviel - außerdem ist's schlecht, das Definitionszeichen zu benutzen - jedenfalls wenn die Doppelpunkte auf der linken Seite stehen. Oder definierst Du den Ausdruck [mm] $\int [/mm] x^2dx$ etwa neu? Ich weiß, was Du meinst, sauber wäre etwa, zu sagen, dass für [mm] $f(x)=x^2\,,$ [/mm] gilt, dass, wenn [mm] $F(x)\,$ [/mm] eine Stammfunktion zu [mm] $f(x)\,$ [/mm] ist, dann $F'(x)=f(x)$ (jeweils für alle [mm] $x\,$) [/mm] gelten muss.
Nun schreibst Du entweder [mm] $\int x^2 [/mm] dx=Ergebnis [mm] \Rightarrow (Ergebnis)'=x^2\,,$ [/mm] oder aber Du definierst
[mm] $$Ergebnis:=\int x^2dx\,,$$
[/mm]
also [mm] $Ergebnis\,$ [/mm] ist per Definitionem des Symbols [mm] $\int [/mm] x^2dx$ eine Stammfunktion zu $x [mm] \mapsto x^2\,.$
[/mm]
Wobei $(Ergebnis)'$ eigentlich $(Ergebnis)'(x)$ bedeutet!
Beispiel:
[mm] $$\integral 4x^3dx=x^4\,.$$
[/mm]
[mm] $Ergebnis=(Ergebnis)(x)=x^4\,,$ [/mm] also
[mm] $$(Ergebnis)'(x)=4x^3\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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