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Forum "Integralrechnung" - Integralrechnung mit Parameter
Integralrechnung mit Parameter < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integralrechnung mit Parameter: Hilfe bei der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Do 26.11.2009
Autor: Masaky

Aufgabe
Bestimme die Zahl t >1 so, dass die von der Parabel der Form [mm] y=tx-x^2 [/mm] und der x-Achse eingeschlossenen Fläche von der 1. Winkelhalbierenden halbiert wird.


Hallo, ich brauche schon mal wieder eure Hilfe...

also diese aufgabe klingt so verwirrend.

Als erstes habe ich die Winkelhalbierende bestimmt... die erste hat ja immer die Steigung 1 ==> y = x

Schnittpunkte der Winkelhalbierende und der Parabe.:

[mm] tx^x^2=x [/mm]  /:x    => x1= 0
t - x = 1           => x2 = t-1


Nullstellen bestimmen:

[mm] tx-x^2=0 [/mm]  /:x     => x1= 0
t -x = 0             => x2 = t

Die oberer Grenze ist also t-1 und die untere 0... die Nullstellen braucht man ja eigentlich nicht weiter,  die zeigen denn nur, dass die Fläche über der x-Achse liegt!

hm okay dann den Flächeninhalt bestimmen:

[mm] \integral_{0}^{t-1}{(tx-x^2)-(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t-1}{t-x^2 dx} [/mm]
= [tx - [mm] \bruch{1}{3}x^3] [/mm]  oben t-1   unten 0

= t(t-1) - [mm] \bruch{1}{3}(t-1)^3 [/mm]


so meine Frage jetz: ist das richtig soweit? oder habe ich die Aufgabenstellung irgendwie nicht verstanden?! weil  wie kann ich das denn jetzt ausrehcnen sodass t >1 rauskommt?!

Danke
              



        
Bezug
Integralrechnung mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Do 26.11.2009
Autor: fred97


> Bestimme die Zahl t >1 so, dass die von der Parabel der
> Form [mm]y=tx-x^2[/mm] und der x-Achse eingeschlossenen Fläche von
> der 1. Winkelhalbierenden halbiert wird.
>  
> Hallo, ich brauche schon mal wieder eure Hilfe...
>  
> also diese aufgabe klingt so verwirrend.
>  
> Als erstes habe ich die Winkelhalbierende bestimmt... die
> erste hat ja immer die Steigung 1 ==> y = x
>  
> Schnittpunkte der Winkelhalbierende und der Parabe.:
>  
> [mm]tx^x^2=x[/mm]  /:x    => x1= 0
>  t - x = 1           => x2 = t-1

>  
>
> Nullstellen bestimmen:
>  
> [mm]tx-x^2=0[/mm]  /:x     => x1= 0
>  t -x = 0             => x2 = t

>  
> Die oberer Grenze ist also t-1 und die untere 0... die
> Nullstellen braucht man ja eigentlich nicht weiter,  die
> zeigen denn nur, dass die Fläche über der x-Achse liegt!
>  
> hm okay dann den Flächeninhalt bestimmen:
>  
> [mm]\integral_{0}^{t-1}{(tx-x^2)-(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{t-1}{t-x^2 dx}[/mm]


Das stimmt nicht. Richtig: [mm]\integral_{0}^{t-1}{(tx-x^2-x) dx}[/mm] =[mm]\integral_{0}^{t-1}{((t-1)x-x^2) dx}[/mm]

Berechne dieses Integral. Das Resultat nennen wir A(t)





>  = [tx - [mm]\bruch{1}{3}x^3][/mm]  
> oben t-1   unten 0
>  
> = t(t-1) - [mm]\bruch{1}{3}(t-1)^3[/mm]
>  
>
> so meine Frage jetz: ist das richtig soweit?

s.o.

oder habe ich

> die Aufgabenstellung irgendwie nicht verstanden?! weil  wie
> kann ich das denn jetzt ausrehcnen sodass t >1 rauskommt?!


Berechne nun noch B(t) = [mm] \integral_{0}^{t}{(tx-x^2) dx} [/mm]

Bestimme dann t so, dass A(t) = [mm] \bruch{B(t)}{2} [/mm] gilt

FRED



>  
> Danke
>                
>
>  


Bezug
                
Bezug
Integralrechnung mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Do 26.11.2009
Autor: Masaky

ahh vilen Dank, also ich habs jetzt verstanden, was von mir verlangt wird

abeer ich hab noch ne kleine Frage!

[mm] \integral_{0}^{t-1}{tx-x^2-xdx} [/mm] = [mm] [0,5x^2-\bruch{1}{3}x^3-0,5x^2] [/mm] oben t-2 unten 0

= [mm] 0,5t(t-1)^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}(t-1)^3 [/mm] - [mm] 0,5(t-1)^2 [/mm]
= [mm] (t-1)^2 [/mm] (0,5t - [mm] \bruch{1}{3}(t-1) [/mm] - 0,5
= [mm] (t-1)^2 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{6}t [/mm] - [mm] \bruch{5}{6}) [/mm]


So kann man das so schreiben?!
Wenn nicht, was ist falsch?!
Wenn ja, wie löse ich das denn jetzt?!


Bezug
                        
Bezug
Integralrechnung mit Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:23 Do 26.11.2009
Autor: Masaky

Kann mir keienr helfen? ;(

Bezug
                        
Bezug
Integralrechnung mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Do 26.11.2009
Autor: informix

Hallo Masaky,

> ahh vilen Dank, also ich habs jetzt verstanden, was von mir
> verlangt wird
>  
> abeer ich hab noch ne kleine Frage!
>  
> [mm]\integral_{0}^{t-1}{tx-x^2-xdx}[/mm] =
> [mm][0,5x^2-\bruch{1}{3}x^3-0,5x^2][/mm] oben t-2 unten 0

[mm] \integral_{0}^{t-1}{(tx-x^2-x)\ dx}=[0,5x^2-\bruch{1}{3}x^3-0,5x^2]_0^{t-1} [/mm]

> = [mm]0,5t(t-1)^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}(t-1)^3[/mm] - [mm]0,5(t-1)^2[/mm]
>  = [mm] $(t-1)^2 [/mm] (0,5t [mm] -\bruch{1}{3}(t-1) [/mm] - 0,5 [mm] \red{)}$ [/mm]

bis auf eine schließende Klammer  [ok]

>  = [mm](t-1)^2 * (\bruch{1}{6}t-\bruch{5}{6})[/mm]

hierin steckt ein Rechenfehler,
wenn du die Formeln noch ohne Leerzeichen schreibst, sehen sie wirklich perfekt aus!

>  
>
> So kann man das so schreiben?!
> Wenn nicht, was ist falsch?!
>  Wenn ja, wie löse ich das denn jetzt?!
>  

Welchen Wert soll denn dieses bestimmte Integral annehmen? Erst dann kannst du das t bestimmen.

Gruß informix

Bezug
                                
Bezug
Integralrechnung mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Fr 27.11.2009
Autor: Masaky

Hm danke.

Aber wenn ich

= [mm] (t-1)^2 *(0,5t-\bruch{1}{3}(t-1)-0,5) [/mm]

[sowei ist es ja richtig...

[mm] =(t-1)^2*0,5t-\bruch{1}{3}t-\bruch{1}{3}-0,5) [/mm]
[mm] =(t-1)^2*(\bruch{1}{6}t-\bruch{5}{6}) [/mm]

ich finde da irgendwie keinen Fehler...

Naja diese Fläche soll ja die hälfte sein, von der Fläche [mm] \integral_{0}^{t}{tx-x^2 dx}.... [/mm]


Also wenn ich das 2.zweite Integral nehme und durch 2 teile denn muss ich das mit dem ersten gleichstezen?!

Aber stimmt das erste soweit vereinfacht?

Bezug
                                        
Bezug
Integralrechnung mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Fr 27.11.2009
Autor: MathePower

Hallo Masaky,

> Hm danke.
>  
> Aber wenn ich
>  
> = [mm](t-1)^2 *(0,5t-\bruch{1}{3}(t-1)-0,5)[/mm]
>
> [sowei ist es ja richtig...
>  
> [mm]=(t-1)^2*0,5t-\bruch{1}{3}t-\bruch{1}{3}-0,5)[/mm]


Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen:

[mm]=(t-1)^2*(0,5t-\bruch{1}{3}t\red{+}\bruch{1}{3}-0,5)[/mm]


>  [mm]=(t-1)^2*(\bruch{1}{6}t-\bruch{5}{6})[/mm]
>  
> ich finde da irgendwie keinen Fehler...
>  
> Naja diese Fläche soll ja die hälfte sein, von der
> Fläche [mm]\integral_{0}^{t}{tx-x^2 dx}....[/mm]
>  
>
> Also wenn ich das 2.zweite Integral nehme und durch 2 teile
> denn muss ich das mit dem ersten gleichstezen?!
>  
> Aber stimmt das erste soweit vereinfacht?


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Integralrechnung mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Fr 27.11.2009
Autor: Masaky

also A(t) = [mm] (t-1)^2*(\bruch{1}{6}t-\bruch{1}{6}) [/mm]


und B(t) = [mm] \integral_{0}^{t}{tx-x^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}t^3 [/mm]

soweitrichtig?!

Dann wäre A(t)*2 = B(t)

aaber wie multinpliziert man A aus?!


Ich hab das jetzt so....

[mm] 2*((t-1)^2*(\bruch{1}{6}t-\bruch{1}{6})) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}t^3 [/mm]
[mm] 2*(-\bruch{1}{6}t^3-\bruch{1}{6}t^2+\bruch{1}{3}t-\bruch{2}{3}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}t^3 [/mm]


ist das richtig?! wenn ja was ist falscH?!

P.s sorry wenn ich nerve, aber das ist echt voll nett, wenn ihr mir imme rhelft :)

Bezug
                                                        
Bezug
Integralrechnung mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Fr 27.11.2009
Autor: M.Rex

Hallo

> also A(t) = [mm](t-1)^2*(\bruch{1}{6}t-\bruch{1}{6})[/mm]
>  
>
> und B(t) = [mm]\integral_{0}^{t}{tx-x^2 dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}t^3[/mm]
>  
> soweitrichtig?!

Ja.

>  
> Dann wäre A(t)*2 = B(t)
>  
> aaber wie multinpliziert man A aus?!

Schlagwort MBbinomische Formel für den blauen Teil, und dann musst du "nur noch" die Klammern ausmulitiplizieren, also:

[mm] \blue{(t-1)^2}*(\bruch{1}{6}t-\bruch{1}{6}) [/mm]
[mm] =\blue{(\ldots)}*(\bruch{1}{6}t-\bruch{1}{6}) [/mm]


Marius

Bezug
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