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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
Ich habe eine Frage zur obigen Aufgabe.
Die Ebene hat ja die Achsenschnittpunkte (1,0,0) - (0,1,0) und (0,0,1). Sie schneidet den Zylinder schräg, so dass die Schnittkurve sozusagen eine schräge Ellipse ist (?).
Ich habe also versucht den Satz von Stokes anzuwenden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
rot H = [mm] (0,0,3x^{2} [/mm] + [mm] 3y^{2})
[/mm]
N = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}(1,1,1) [/mm] (der Normalenvektor der Ebene)
[mm] rotH*N=\wurzel{3}(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2})
[/mm]
Damit wäre der Integrand fertig. Ich habe jetzt allerdings Probleme damit, meine Fläche zu beschreiben. Ich denke ich muss das Flächenstück parametrisieren, oder? im alten Skript habe ich die allgemeinen Polarkoordinaten gefunden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die werde ich wohl nicht so einfach um eine Höhe erweitern können.
Jetzt weiß ich also nicht mehr wie ich weiter vorgehen kann. Wer kann mir helfen?
ciao, Mike.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo mikemodanoxxx,> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
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> Ich habe eine Frage zur obigen Aufgabe.
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> Die Ebene hat ja die Achsenschnittpunkte (1,0,0) - (0,1,0)
> und (0,0,1). Sie schneidet den Zylinder schräg, so dass die
> Schnittkurve sozusagen eine schräge Ellipse ist (?).
In der Tat ist diese Schnittkurve eine schiefe Ellipse.
>
> Ich habe also versucht den Satz von Stokes anzuwenden:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> rot H = [mm](0,0,3x^{2}[/mm] + [mm]3y^{2})[/mm]
> N = [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}(1,1,1)[/mm] (der Normalenvektor der
> Ebene)
> [mm]rotH*N=\wurzel{3}(x^{2}[/mm] + [mm]y^{2})[/mm]
>
> Damit wäre der Integrand fertig. Ich habe jetzt allerdings
> Probleme damit, meine Fläche zu beschreiben. Ich denke ich
> muss das Flächenstück parametrisieren, oder? im alten
Ja.
> Skript habe ich die allgemeinen Polarkoordinaten gefunden:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Die werde ich wohl nicht so einfach um eine Höhe erweitern
> können.
> Jetzt weiß ich also nicht mehr wie ich weiter vorgehen
> kann. Wer kann mir helfen?
Die Darstellung in Polarkoordinaten
[mm]x=x\left(r,\varphi)[/mm]
[mm]y=y\left(r,\varphi)[/mm]
folgt aus der Gleichung [mm]x^{2}+y^{2}=r^{2}, \ 0 \le r \le 1[/mm]
Löse dann die Ebenengleichung nach z auf.
Dann erhältst die Darstellung [mm]z=z\left(r,\varphi\right)[/mm].
Somit hast Du die Schnittfläche parametrisiert.
>
> ciao, Mike.
Gruß
MathePower
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Also quasi nur
x = [mm] r\cos(\phi)
[/mm]
y = [mm] r\sin(\phi)
[/mm]
z = 1 - [mm] r*\cos(\phi) [/mm] - [mm] r*\sin(\phi)
[/mm]
Und jetzt über r [0,1] und [mm] \phi [0,2\pi] [/mm] integrieren?
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Hallo mikemodanoxxx,
> Also quasi nur
>
> x = [mm]r\cos(\phi)[/mm]
> y = [mm]r\sin(\phi)[/mm]
> z = 1 - [mm]r*\cos(\phi)[/mm] - [mm]r*\sin(\phi)[/mm]
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und jetzt über r [0,1] und [mm]\phi [0,2\pi][/mm] integrieren?
Ja.
Gruß
MathePower
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Danke. Jetzt habe ich aber mal noch ne Frage die nicht unbedingt was mit der Aufgabe zu tun hat.
Das Normalenfeld muss ja immer nach außen zeigen. Woher weiß ich denn bei einer Fläche wie dieser wo außen ist? Ich meine das zeigt ja beides nach außen. Bei einer Kugel ist mir zb klar was außen ist, aber nicht wenn ich einfach eine gerade Ebene habe oder so. Ich habe das heute meinen Tutor gefragt und der konnte mir das auch nicht beantworten.
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Hallo mikemodanoxxx,
> Danke. Jetzt habe ich aber mal noch ne Frage die nicht
> unbedingt was mit der Aufgabe zu tun hat.
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> Das Normalenfeld muss ja immer nach außen zeigen. Woher
> weiß ich denn bei einer Fläche wie dieser wo außen ist? Ich
> meine das zeigt ja beides nach außen. Bei einer Kugel ist
> mir zb klar was außen ist, aber nicht wenn ich einfach eine
> gerade Ebene habe oder so. Ich habe das heute meinen Tutor
> gefragt und der konnte mir das auch nicht beantworten.
Nun, das Normalenfeld zeigt nach außen, wenn das System aus den beiden Tangentialvektoren der Fläche und diesem Normalenfeld ein ![[]](/images/popup.gif) Rechtssystem bilden.
Gruß
MathePower
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