Integralsatz von Stokes 2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Sei [mm] H(x,y,z)=(-y^{3},x^{3},-z^{3}) [/mm] ein Vektorfeld. Sei [mm] Y:\IR\to\IR^{3} [/mm] die Schnittkurve des Zylinders [mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm] mit der Ebene x+y+z=1. Der Weg Y beschreibe den Rand [mm] \partial\mathcal{S} [/mm] der Fläche [mm] \mathcal{S}. [/mm] Bestimmen Sie
[mm] \integral_{\partial\mathcal{S}}^{}{H*dY}
[/mm]
mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes.
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Hallo Matheraum,
die Musterlösung schlägt als Parametrisierung der Fläche [mm] \mathcal{S} [/mm]
[mm] F:K\to\IR^{3}, F(x,y)=(x,y,1-x-y)^{T} [/mm] mit [mm] K=[(x,y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}\le1]
[/mm]
vor. Ich würde gerne wissen, wie man genau diese Parametrisierung ermittelt. Über hilfreiche Tipps würde ich mich sehr freuen.
Gruß, Marcel
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> Sei [mm]H(x,y,z)=(-y^{3},x^{3},-z^{3})[/mm] ein Vektorfeld. Sei
> [mm]Y:\IR\to\IR^{3}[/mm] die Schnittkurve des Zylinders
> [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm] mit der Ebene x+y+z=1. Der Weg Y beschreibe
> den Rand [mm]\partial\mathcal{S}[/mm] der Fläche [mm]\mathcal{S}.[/mm]
> Bestimmen Sie
>
> [mm]\integral_{\partial\mathcal{S}}^{}{H*dY}[/mm]
>
> mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes.
>
> Hallo Matheraum,
>
>
> die Musterlösung schlägt als Parametrisierung der Fläche
> [mm]\mathcal{S}[/mm]
>
>
> [mm]F:K\to\IR^{3},
F(x,y)=(x,y,1-x-y)^{T}[/mm] mit
> [mm]K=[(x,y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}\le1][/mm]
Hallo,
Vorstellen kannst Du es Dir? Eine Konservendose, die schräg durchgeschnitten wird.
Man ordnet nun jeder Stelle des "Dosenbodens" die passende Höhe zu, versucht also, die Koordinaten der Punkte der Schnittfläche anzugeben, die in die xy-Ebene projeziert in dem Kreis K mit [mm] x²+y^2\le [/mm] 1 liegen.
Bei dieser Parametrisierung bildet man aus K heraus ab, man betrachtet also von vornherein nur solche x,y, für welche [mm] x^2+y^2\le [/mm] 1 ist.
Nun will man wissen, welche "Höhe", also z-Koordinate das Schnittgebilde an jeder Stelle (x,y) hat. Die erfährt man aus der Ebenengleichung: x+y+z=1 <==> z=1-x-y.
Diese Parametrisierung nimmt man, weil man sie schnell hat., und weil man gleich gemütlich losintegrieren kann, ohne daß man sich graue Haare wegen des Flächenelementes wachsen lassen muß.
Naheliegend wäre ja auch ein Übergang gewesen zu Zylinderkoordinaten bei dieser Geometrie, also parametrisierung nach [mm] \varphi [/mm] und r.
Eigentlich sollte dasselbe herauskommen...
Gruß v. Angela
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> vor. Ich würde gerne wissen, wie man genau diese
> Parametrisierung ermittelt. Über hilfreiche Tipps würde ich
> mich sehr freuen.
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> Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Sei [mm]H(x,y,z)=(-y^{3},x^{3},-z^{3})[/mm] ein Vektorfeld. Sei
> > [mm]Y:\IR\to\IR^{3}[/mm] die Schnittkurve des Zylinders
> > [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm] mit der Ebene x+y+z=1. Der Weg Y beschreibe
> > den Rand [mm]\partial\mathcal{S}[/mm] der Fläche [mm]\mathcal{S}.[/mm]
> > Bestimmen Sie
> >
> > [mm]\integral_{\partial\mathcal{S}}^{}{H*dY}[/mm]
> >
> > mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes.
> >
> > Hallo Matheraum,
> >
> >
> > die Musterlösung schlägt als Parametrisierung der Fläche
> > [mm]\mathcal{S}[/mm]
> >
> >
> > [mm]F:K\to\IR^{3},
F(x,y)=(x,y,1-x-y)^{T}[/mm] mit
> > [mm]K=[(x,y)\in\IR^{2}:x^{2}+y^{2}\le1][/mm]
>
> Hallo,
>
> Vorstellen kannst Du es Dir? Eine Konservendose, die schräg
> durchgeschnitten wird.
>
> Man ordnet nun jeder Stelle des "Dosenbodens" die passende
> Höhe zu, versucht also, die Koordinaten der Punkte der
> Schnittfläche anzugeben, die in die xy-Ebene projeziert in
> dem Kreis K mit [mm]x²+y^2\le[/mm] 1 liegen.
>
> Bei dieser Parametrisierung bildet man aus K heraus ab,
> man betrachtet also von vornherein nur solche x,y, für
> welche [mm]x^2+y^2\le[/mm] 1 ist.
>
> Nun will man wissen, welche "Höhe", also z-Koordinate das
> Schnittgebilde an jeder Stelle (x,y) hat. Die erfährt man
> aus der Ebenengleichung: x+y+z=1 <==> z=1-x-y.
>
> Diese Parametrisierung nimmt man, weil man sie schnell
> hat., und weil man gleich gemütlich losintegrieren kann,
> ohne daß man sich graue Haare wegen des Flächenelementes
> wachsen lassen muß.
>
> Naheliegend wäre ja auch ein Übergang gewesen zu
> Zylinderkoordinaten bei dieser Geometrie, also
> parametrisierung nach [mm]\varphi[/mm] und r.
>
> Eigentlich sollte dasselbe herauskommen...
>
> Gruß v. Angela
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> > vor. Ich würde gerne wissen, wie man genau diese
> > Parametrisierung ermittelt. Über hilfreiche Tipps würde ich
> > mich sehr freuen.
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> > Gruß, Marcel
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[mm] F:K\to\IR^{3}, F(x,y)=(x,y,1-x-y)^{T}
[/mm]
Vielen Dank für deine schöne Erklärung. Bisher habe ich alles verstanden, habe dann aber doch noch einmal zwei kurze Rückfragen:
1) Wie komme ich genau auf x und y aus [mm] F(x,y)=(x,y,1-x-y)^{T}? [/mm] Wähle ich sie als Parameter, also setze ich sie fest und löse dann nach z auf?
Dann wäre zum Beispiel auch [mm] F(x,z)=(x,1-x-z,z)^{T} [/mm] eine Parameterdarstellung, auch wenn sie hier nicht geeignet wäre?
2) Warum wird aus dem Gleichheitszeichen der Gleichung [mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm] ein Kleiner-Gleich-Zeichen?
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> [mm]F:K\to\IR^{3}, F(x,y)=(x,y,1-x-y)^{T}[/mm]
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> Vielen Dank für deine schöne Erklärung. Bisher habe ich
> alles verstanden, habe dann aber doch noch einmal zwei
> kurze Rückfragen:
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> 1) Wie komme ich genau auf x und y aus
> [mm]F(x,y)=(x,y,1-x-y)^{T}?[/mm] Wähle ich sie als Parameter, also
> setze ich sie fest und löse dann nach z auf?
Hallo,
ja, genau.
Beachte, daß x und y noch einer weiteren Einschränkung unterliegen, da sie von vornherein aus K gewählt werden.
>
> Dann wäre zum Beispiel auch [mm]F(x,z)=(x,1-x-z,z)^{T}[/mm] eine
> Parameterdarstellung, auch wenn sie hier nicht geeignet
> wäre?
Im Prinzip ja, aber die obige Einschränkrung müßte sich auch noch niederschlagen
>
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> 2) Warum wird aus dem Gleichheitszeichen der Gleichung
> [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm] ein Kleiner-Gleich-Zeichen?
Wir beschreiben jetzt nicht die Schnittkurve, sondern - weil ja Stokes angewendet werden soll - die von der Schnittkurve begrenzte Schnittfläche, also auch die Punkte im Inneren des umrandeten Gebietes.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank!
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