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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Fr 05.06.2009 | | Autor: | marcT |
| Aufgabe | Berechnen Sie den exakten Wert des folgenden Integrals:
[mm] \integral_{0}^{1} x^2 [/mm] * [mm] e^{-x}\, [/mm] dx |
Also ich soll oben stehendes Integral exakt berechnen.
Hab mir gedacht das mit partieller Integration zu machen aber ich komme leider zu keinem vernünftigen Ergebnis.
Habe bisher folgendes gemacht:
[mm] \integral_{0}^{1} x^2 [/mm] * [mm] e^{-x}\, [/mm] dx
[mm] u(x)=x^2
[/mm]
[mm] v'(x)=e^{-x} [/mm]
u'(x)= 2x
v(x)= [mm] -e^{-x}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1} x^2 [/mm] * [mm] e^{-x}\, [/mm] dx = [mm] \left[ x^2 * -e^{-x} \right]^1_0 [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] 2x * [mm] -e^{-x}\, [/mm] dx
[mm] =-e^{-1} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] 2x * [mm] -e^{-x}\, [/mm] dx
dann nochmal partielle Integration mit:
u(x)=2x
[mm] v'(x)=-e^{-x} [/mm]
u'(x)= 2
v(x)= [mm] e^{-x}
[/mm]
[mm] =-e^{-1} [/mm] - ( [mm] \left[ 2x * e^{-x} \right]^1_0 [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] 2 * [mm] e^{-x}\, [/mm] dx )
[mm] =-e^{-1} [/mm] - [mm] (2*e^{-1}) [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] 2 * [mm] e^{-x}\, [/mm] dx
dann hab ich nochmal partiell integriert mit:
u(x)=2
[mm] v'(x)=e^{-x} [/mm]
u'(x)= fällt weg
v(x)= [mm] -e^{-x}
[/mm]
[mm] =-e^{-1} [/mm] - [mm] (2*e^{-1}) [/mm] + ( [mm] \left[ 2 * -e^{-x} \right]^1_0 [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1} -e^{-x}\, [/mm] dx
[mm] =-e^{-1}-2e^{-1}+2*-e^{-1}-(-e^{-1})
[/mm]
Ist das Unsinn was ich da gemacht habe?
Laut geogebra müsste ich für das Integral einen Wert von 0.16 erhalten, wenn ich das oben stehende aber mit einer Näherung für e ausrechne komme ich nicht dahin.
Also wäre sehr nett wenn mir mal jemand sagen könnte wo ich da Mist geabaut habe oder wie man es richtig macht.
Danke Schonmal für evtl. Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Berechnen Sie den exakten Wert des folgenden Integrals:
> [mm]\integral_{0}^{1} x^2[/mm] * [mm]e^{-x}\,[/mm] dx
> Also ich soll oben stehendes Integral exakt berechnen.
> Hab mir gedacht das mit partieller Integration zu machen
> aber ich komme leider zu keinem vernünftigen Ergebnis.
> Habe bisher folgendes gemacht:
>
> [mm]\integral_{0}^{1} x^2[/mm] * [mm]e^{-x}\,[/mm] dx
>
> [mm]u(x)=x^2[/mm]
> [mm]v'(x)=e^{-x}[/mm]
> u'(x)= 2x
> v(x)= [mm]-e^{-x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1} x^2[/mm] * [mm]e^{-x}\,[/mm] dx = [mm]\left[ x^2 * -e^{-x} \right]^1_0[/mm]
> - [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] 2x * [mm]-e^{-x}\,[/mm] dx
> [mm]=-e^{-1}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] 2x * [mm]-e^{-x}\,[/mm] dx
>
> dann nochmal partielle Integration mit:
>
> u(x)=2x
> [mm]v'(x)=-e^{-x}[/mm]
> u'(x)= 2
> v(x)= [mm]e^{-x}[/mm]
>
> [mm]=-e^{-1}[/mm] - ( [mm]\left[ 2x * e^{-x} \right]^1_0[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] 2 * [mm]e^{-x}\,[/mm] dx )
> [mm]=-e^{-1}[/mm] - [mm](2*e^{-1})[/mm] + [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] 2 * [mm]e^{-x}\,[/mm] dx
>
bis hier ist alles richtig 
> dann hab ich nochmal partiell integriert mit:
>
brauchst du gar nicht. zieh die [mm] \\2 [/mm] vors Integral
damit hast du dann:
[mm] -3e^{-1}+2\integral_{0}^{1}{e^{-x} dx}
[/mm]
[mm] -3e^{-1}+2(-e^{-x})
[/mm]
[mm] \Rightarrow -3e^{-1}-2e^{-1}-2=-5e^{-1}+2\approx [/mm] 0.16
> u(x)=2
> [mm]v'(x)=e^{-x}[/mm]
> u'(x)= fällt weg
> v(x)= [mm]-e^{-x}[/mm]
>
> [mm]=-e^{-1}[/mm] - [mm](2*e^{-1})[/mm] + ( [mm]\left[ 2 * -e^{-x} \right]^1_0[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{1} -e^{-x}\,[/mm] dx
>
> [mm]=-e^{-1}-2e^{-1}+2*-e^{-1}-(-e^{-1})[/mm]
>
> Ist das Unsinn was ich da gemacht habe?
> Laut geogebra müsste ich für das Integral einen Wert von
> 0.16 erhalten, wenn ich das oben stehende aber mit einer
> Näherung für e ausrechne komme ich nicht dahin.
> Also wäre sehr nett wenn mir mal jemand sagen könnte wo
> ich da Mist geabaut habe oder wie man es richtig macht.
> Danke Schonmal für evtl. Antworten.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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