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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Do 25.08.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^{2n}}=\frac{\pi}{n\cdot sin(\frac{\pi}{2n})}$ [/mm] |
Hi! Ich habe hier einige Probleme:
Integral existiert und der Integrant als komplexe Funktion aufgefasst hat als Singularitäten Pole erster Ordnung , die liegen alle auf dem Einheitskreis und der Form
[mm] $e^{\frac{\pi i (2k+1)}{2n}}=\zeta_k.$
[/mm]
Ich integriere nun über den Standardintegrationsweg: von $-R$ bis $R$ auf der reellen Achse und dann Halbkreis in der oberen Halbebene zurück, also liegen für $k=1...n$ die Hälfte der Singularitäten im Inneren des Weges.
Nun habe ich Probleme bei der Residuenberechnung.
Für
[mm] Res_{\zeta_k}(f)=lim_{z\rightarrow\zeta_k}(z-\zeta_k)f(z) [/mm] bekomme ich
[mm] $2\pi [/mm] i [mm] \sum_{k=1}^n\frac{1}{\prod_{j=1, j\neq k}^n(\zeta_k-\zeta_j)}$
[/mm]
Nun die Frage: Wie kann ich diese Werte zusammenfassen? Auch ne Transformation in kartesische Koordinaten hat bei mir nicht geholfen...
Hoffe, jemand weiß was. Auch über Alternativvorschläge freue ich mich!
Viele Grüße, Harris
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Man kann für ganzzahlige [mm]k \geq 2[/mm] sogar
[mm]\int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^k} = \frac{\frac{\pi}{k}}{\sin \frac{\pi}{k}}[/mm]
zeigen. Deine Aufgabe fällt hier für [mm]k=2n[/mm] darunter, wenn du, die Geradheit des Integranden verwendend, das Ergebnis auf das Intervall [mm](-\infty,\infty)[/mm] ausdehnst.
Sei [mm]\omega = \operatorname{e}^{\frac{\pi \operatorname{i}}{k}}[/mm]. Integriere
[mm]f(z) = \frac{1}{1 + z^k}[/mm]
für [mm]R>1[/mm] über den Weg [mm]\gamma_R[/mm], der sich zusammensetzt aus der Strecke von 0 bis [mm]R[/mm], dem Kreisbogen um 0 von [mm]R[/mm] bis [mm]R \omega^2[/mm] und der Strecke von [mm]R \omega^2[/mm] bis 0. Führe den Grenzübergang [mm]R \to \infty[/mm] durch.
Der einzige Pol im Innern von [mm]\gamma_R[/mm] befindet sich bei [mm]\omega[/mm]. Für [mm]R \to \infty[/mm] verschwindet das Integral über den Kreisbogen, die Integrale über die Strecken kann man dagegen zusammenfassen.
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