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| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichung für die Ladung eines Kondensators
R [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] Q(t) + [mm] \bruch{1}{C} [/mm] Q(t) = [mm] U_0 [/mm] |
Hallo
beim Nachvollziehen der Lösung der Differentialgleichung scheitere ich leider bei dem Berechnen des Integral.
Zuerst wird separiert:
[mm] \bruch{d Q(t)}{\bruch{U_0}{R} - \bruch{1}{RC} Q(t)} [/mm] = dt
und dann als Integral angeschrieben, inkl. Substitution y := Q(t):
[mm] \integral_{0}^{Q(t)}{\bruch{d y}{\bruch{U_0}{R} - \bruch{1}{RC} y}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{ds}
[/mm]
Bis hierhin ist es für mich nachvollziehbar. Dann steht, nach der Integration lautet die Gleichung:
[mm] -RC(ln(\bruch{U_0}{R} [/mm] - [mm] \bruch{1}{RC} [/mm] Q(t)) - [mm] ln(\bruch{U_0}{R})) [/mm] = t
Die rechte Seite ist natürlich nachvollziehbar, aber bei der linken komme ich auf etwas Anderes:
[mm] \integral_{0}^{Q(t)}{\bruch{d y}{\bruch{U_0}{R} - \bruch{1}{RC} y}}
[/mm]
=
RC [mm] \integral_{0}^{Q(t)}{\bruch{dy}{CU_0 - y}}
[/mm]
=
RC [mm] \integral_{0}^{Q(t)}{\bruch{1}{CU_0 - y} \bruch{-1}{-1} dy}
[/mm]
=
-RC [mm] \integral_{0}^{Q(t)}{\bruch{-1}{CU_0 - y} dy}
[/mm]
=
-RC [mm] \integral_{CU_0}^{CU_0 - Q(t)}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] (nach Substitution z := [mm] CU_0 [/mm] - y)
Mit [mm] \integral{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = ln(z) lande ich dann bei:
-RC [mm] (ln(CU_0 [/mm] - Q(t)) - [mm] ln(CU_0))
[/mm]
Kann mir einer erklären wieso ich nicht auf
[mm] -RC(ln(\bruch{U_0}{R} [/mm] - [mm] \bruch{1}{RC} [/mm] Q(t)) - [mm] ln(\bruch{U_0}{R}))
[/mm]
komme?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Mi 29.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die Differentialgleichung für die Ladung eines
> Kondensators
>
> R [mm]\bruch{d}{dt}[/mm] Q(t) + [mm]\bruch{1}{C}[/mm] Q(t) = [mm]U_0[/mm]
> Hallo
>
> beim Nachvollziehen der Lösung der Differentialgleichung
> scheitere ich leider bei dem Berechnen des Integral.
>
> Zuerst wird separiert:
>
> [mm]\bruch{d Q(t)}{\bruch{U_0}{R} - \bruch{1}{RC} Q(t)}[/mm] = dt
>
> und dann als Integral angeschrieben, inkl. Substitution y
> := Q(t):
>
> [mm]\integral_{0}^{Q(t)}{\bruch{d y}{\bruch{U_0}{R} - \bruch{1}{RC} y}}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{t}{ds}[/mm]
>
> Bis hierhin ist es für mich nachvollziehbar. Dann steht,
> nach der Integration lautet die Gleichung:
>
> [mm]-RC(ln(\bruch{U_0}{R}[/mm] - [mm]\bruch{1}{RC}[/mm] Q(t)) -
> [mm]ln(\bruch{U_0}{R}))[/mm] = t
>
> Die rechte Seite ist natürlich nachvollziehbar, aber bei
> der linken komme ich auf etwas Anderes:
>
> [mm]\integral_{0}^{Q(t)}{\bruch{d y}{\bruch{U_0}{R} - \bruch{1}{RC} y}}[/mm]
>
> =
> RC [mm]\integral_{0}^{Q(t)}{\bruch{dy}{CU_0 - y}}[/mm]
> =
> RC [mm]\integral_{0}^{Q(t)}{\bruch{1}{CU_0 - y} \bruch{-1}{-1} dy}[/mm]
>
> =
> -RC [mm]\integral_{0}^{Q(t)}{\bruch{-1}{CU_0 - y} dy}[/mm]
> =
> -RC [mm]\integral_{CU_0}^{CU_0 - Q(t)}{\bruch{1}{z} dz}[/mm] (nach
> Substitution z := [mm]CU_0[/mm] - y)
>
> Mit [mm]\integral{\bruch{1}{z} dz}[/mm] = ln(z) lande ich dann bei:
>
> -RC [mm](ln(CU_0[/mm] - Q(t)) - [mm]ln(CU_0))[/mm]
>
> Kann mir einer erklären wieso ich nicht auf
>
> [mm]-RC(ln(\bruch{U_0}{R}[/mm] - [mm]\bruch{1}{RC}[/mm] Q(t)) -
> [mm]ln(\bruch{U_0}{R}))[/mm]
>
> komme?
Da kommst Du hin, wenn Du Rechenregeln des Logarithmus verwendest (ich lasse den Faktor RC mal weg):
es ist ln(a/b)= ln(a)-ln(b), also
$ [mm] ln(\bruch{U_0}{R} [/mm] - [mm] \bruch{1}{RC} [/mm] Q(t)) - [mm] ln(\bruch{U_0}{R})= ln(\bruch{CU_0}{RC} [/mm] - [mm] \bruch{1}{RC} [/mm] Q(t))- [mm] ln(\bruch{CU_0}{RC})=ln(\bruch{CU_0-Q(t)}{RC})- ln(\bruch{CU_0}{RC})$
[/mm]
[mm] $=ln(CU_0-Q(t))- [/mm] ln [mm] (RC)-(ln(CU_0)-ln(RC)=ln(CU_0-Q(t)) -ln(RC)-ln(CU_0)+ln(RC)=ln(CU_0-Q(t))-ln(CU_0)$
[/mm]
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