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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 11.05.2006 | | Autor: | Moal |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{sin²x dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand bei der Integration dieses Ausdruckes helfen ?
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hallo,
hast du schonmal versucht, [mm] \integral_{a}^{b}{sin²x dx} [/mm] umzuschreiben, zB mithilfe der winkelbeziehungen zwischen sin und cos?
denn aus [mm] sin^{2}x [/mm] wird nämlich [mm] \bruch{1}{2}*(1-cos(2x))
[/mm]
und das sieht doch schon viel schöner aus.
versuch es mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 11.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Moal!
Alternativ kannst Du hier auch mittels partieller Integration vorgehen:
[mm]\integral{\sin^2(x) \ dx} \ = \ \integral{\sin(x)*\sin(x) \ dx}[/mm]
Eleganter ist aber wohl die andere Variante ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Do 11.05.2006 | | Autor: | Moal |
Also mit der part. Integration habe ich es schon versucht. Damit bin ich aber nicht weiter gekommen, ich habe mich irgendwie im Kreis gedreht und bin wieder zur Ausgangsfunktion zurückgekommen.> Hallo Moal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Do 11.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Moal!
Und genau das ist der Trick an der Sache ...
Du erhältst eine Gleichung, bei der das gesuchte Integral sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite steht. Wenn Du dies nun mit Äquivalenzumformung auf die linke Seite bringst, musst Du nur noch durch $2_$ teilen ... fertig!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 11.05.2006 | | Autor: | Moal |
Hallo.
Also ich habe es mit der Hilfestellung von vorhin nochmal probiert.
Also ich bin so vorgegangen:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin²x dx}= \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}*(1-cos2x)dx}
[/mm]
part. Integration
cos2x = [mm] \bruch{1}{2}*(x+sinxcosx)
[/mm]
so komme ich zu:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin²x dx} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{8}*(x+sinxcosx)
[/mm]
stimmt das ?
Beim Weg über die Äquivalenzumformung kann ich dir leider nicht folgen, könntest du diesen vielleicht noch ein wenig erklären ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Do 11.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo.
> Also ich habe es mit der Hilfestellung von vorhin nochmal
> probiert.
> Also ich bin so vorgegangen:
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin²x dx}= \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}*(1-cos2x)dx}[/mm]
>
> part. Integration
da muss man doch nicht mehr part. integrieren!
> cos2x = [mm]\bruch{1}{2}*(x+sinxcosx)[/mm]
das ist falsch :
[mm] \integral_{a}^{b}{cos2x dx}=-1/2*sin2x
[/mm]
Und die 1 kannst du wohl selbst integrieren.
2.Weg: part. Integration: 2 mal hintereinander:
[mm]\integral{sin²x dx}=-cosx*sinx -\integral{cos²x dx}
=\integral_{a}^{b}{sin²x dx}=-cosx*sinx -cosx*sinx-\integral {sin^{2}(x) dx }[/mm]
jetzt [mm] -\integral {sin^{2}(x) dx} [/mm] auf die linke Seite gebracht ergibt:
[mm] 2*\integral {sin^{2}(x) dx}=........
[/mm]
rechne nach, ob alle Vorzeichen richtig sind!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Do 11.05.2006 | | Autor: | Moal |
Hallo
Also es tut mir ja wirklich leid, dass ich nochmal nachfrage, aber ich checke den Lösungsweg mit der zweifachen part. Int. einfach nicht.
Ich habe nochmal nachgerechnet und komme zu anderen Vorzeichen wie du.
So komme ich zu:
$ [mm] \integral{sin²x dx}=-cosx\cdot{}sinx +\integral{cos²x dx} =\integral_{a}^{b}{sin²x dx}=-cosx\cdot{}sinx +cosx\cdot{}sinx+\integral {sin^{2}(x) dx } [/mm] $
wenn ich jetzt [mm] \integral {sin^{2}(x) dx } [/mm] auf die linke seite bringe steht
0=0 ??
habe ich mich verrechnet ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Do 11.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Moal
Entschuldige, ich war zu schnell und leichtsinnig:
> So komme ich zu:
> [mm][mm] \integral{sin²x dx}=-cosx\cdot{}sinx +\integral{cos²x dx} [/mm]
jetzt [mm] \integral{cos²x dx} [/mm] auf die andere Seite:
[mm][mm] \integral{sin²x -cos^{2}x dx}= \integral{(2*sin{2}x -1) dx}=-cosx\cdot{}sinx
[/mm]
und damit 2* [mm]\integral{sin²x dx} =x-sinx*cosx[/mm]
Gruss leduart
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um nochmal zur meiner meinung nach einfacheren variante zurückzukommen:
wenn du [mm] \integral_{a}^{b}{sin²x dx}= \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}\cdot{}(1-cos2x)dx} [/mm] hast, kannst du doch ganz einfache regeln anwenden, zB dass man eine summe auch getrennt schreiben kann.
das sieht dann so aus:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}\cdot{}(1-cos2x)dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}dx}- \integral_{a}^{b}{(\bruch{1}{2}cos2x) dx}
[/mm]
dann wieder die grundregeln anwenden:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}dx}- \integral_{a}^{b}{(\bruch{1}{2}cos2x) dx} [/mm] = [mm] {\bruch{1}{2}*\integral_{a}^{b}dx}- \bruch{1}{2}*\integral_{a}^{b}{(cos2x) dx}
[/mm]
und wenn du mir jetzt sagst, du packst das nicht ;)
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