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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 Mi 23.01.2008
Autor: Soonic

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(nx) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}[sin(nx)] [/mm] von 0 - 2 [mm] \pi [/mm]

Hallo zusammen.

Habe mal ein blöde Frage. Ich frage mich die ganze Zeit, woher nochmal das 1 /n vor dem sin(nx) kommt.

Wenn ich ja dann 1 / n *sin(nx) ableiten würde, müsste ich ja wieder auf mein cos(nx) kommen.
Leite ich dann nur beim sin(nx) ab? (gilt dann die Verkettung mit Innere und Äußere Abl)?
        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Mi 23.01.2008
Autor: Bastiane

Hallo Soonic!

> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{cos(nx) dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[sin(nx)][/mm]
> von 0 - 2 [mm]\pi[/mm]
>  Hallo zusammen.
>
> Habe mal ein blöde Frage. Ich frage mich die ganze Zeit,
> woher nochmal das 1 /n vor dem sin(nx) kommt.

Was hat das Ganze denn mit Numerik zu tun? Willst du es mit einem numerischen Verfahren integrieren? Wohl eher nicht, oder? :-)
  
> Wenn ich ja dann 1 / n *sin(nx) ableiten würde, müsste ich
> ja wieder auf mein cos(nx) kommen.
> Leite ich dann nur beim sin(nx) ab? (gilt dann die
> Verkettung mit Innere und Äußere Abl)?

Wenn du [mm] f(x)=\frac{1}{n}\sin(nx) [/mm] ableitest, musst du in der Tat die MBKettenregel anwenden. Also:

[mm] $f(x)=\frac{1}{n}\blue{\sin(\green{nx})}$ [/mm]

[mm] $\blue{sin}$ [/mm] ist die äußere Funktion und [mm] $\green{nx}$ [/mm] die innere. Also ergibt die Ableitung:

[mm] $f'(x)=\frac{1}{n}*\blue{\sin'(\green{nx})}\cdot\green{(nx)'}=\frac{1}{n}\cdot\blue{cos(\green{nx})}\cdot\freen{n}=\cos(nx)$ [/mm]

denn die Ableitung von [mm] \green{nx} [/mm] ist ja einfach nur $n$, und der Faktor [mm] \frac{1}{n} [/mm] bleibt vorne einfach stehen, da er ja nicht von x abhängt.

Du erhältst also genau wieder deine Ausgangsfunktion. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]
Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 Mi 23.01.2008
Autor: Soonic

Jo, das habe ich jetzt verstande. Danke schonmal.

Gibt es denn eine Regel oder ähnliches, wenn ich die Stammfunktion von cos(nx)dx suche? Das dies einfach nur 1 / n * sin(nx) ist? Sowie innere und äußere Integration? Bei der äußeren passt das ja. F = sin(nx).
Bei der inneren müsste das ja (x ^(n+1))/(n+1) sein. Aber da passt ja dann wieder nicht :-(
Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Mi 23.01.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

> Jo, das habe ich jetzt verstande. Danke schonmal.
>  
> Gibt es denn eine Regel oder ähnliches, wenn ich die
> Stammfunktion von cos(nx)dx suche? Das dies einfach nur 1 /
> n * sin(nx) ist? Sowie innere und äußere Integration?

Ja es nennt sich "Integration durch Substitution" Da du eine verkette Funktion integrieren willst da verwendest du diese Regel:

Schau: Es ist [mm] \integral_{a}^{b}{cos(nx) dx} [/mm]
Substituiere: u=nx [mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx}=n \Rightarrow \bruch{du}{n}=dx [/mm] das setzt du in dein Integral ein also folgt [mm] \integral_{a}^{b}{cos(u) \bruch{du}{n}}=\bruch{1}{n}*\integral_{a}^{b}{cos(u) du} [/mm] Nun cos(u) integrieren liefert: [mm] \bruch{1}{n}*sin(u) [/mm] zurücksubstitieren: [mm] \bruch{1}{n}sin(nx) [/mm]

[cap] Gruß
Bezug
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