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Hallo,
inzwischen bin ich beim Integrieren angelangt, da habe ich wohl meine größten Probleme mit.
generell bin ich auf Begriffe gestoßen, die ich nicht unterscheiden kann. Was bedeutet im Zusammenhang mit Integration:
- (un)bestimmtes Integral
- (un)eigentliches Integral
Ich kenne nur einen uneigentlichen Grenzwert, wenn x gegen Unendlich läuft. Ist bei einem uneignetlichen Integral eine / beide (?) Grenzen "Unendlich" ???
Also, ich habe auch al probehalber versuch zu integrieren:
f(x)= [mm] (e^x)/(1+e^2x)
[/mm]
meine Stammfunktion lautet: F(x) = arctan(t)
mit:
t= [mm] e^x
[/mm]
x= ln(t) =g(t)
t^(-1) =g'(t)
Stimmt das?
aber ich weiß überhaupt nicht wie ich da bei Wuzelfunktionen herangehen soll:
wie integriere ich denn: (x/(1-x))^(0,5) ?
und was mache ich bei [mm] (x*(x^2+1)*e^{-x^2}) [/mm] ?
Kann mir bitte jemand helfen / Tipps geben?
viele Grüße,
dancingestrella
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Das möchte ich auch gerne mal wissen.
Falls du Abi machst dancingestrella, meine Mathe-Lehrerin meinte, dass so etwas nur im allgemeinen Sinne dran kommt. Aber natürlich würde ich auch gerne wissen, was der Unterschied zwischen unbestimmten Integral und uneigentliches Integral ist.
Also ich weiß nur, dass ein uneigentliches Integral, so verändert werden kann, dass es kein Integral mehr ist. Sehr allgemein und sehr unmathematisch ausgedrückt, aber ich glaube so ist das irgendwie.
Ich habe sowieso so probleme mit so ganz trockenem Zeug. Ich mache am liebsten so normale Abi-Aufgaben mit Steigung usw. und nicht so mathematisches im eigentlichen Sinne.
Also wäre froh, wenn das einer erklären könnte.
MfG DerMathematiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Do 08.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella, hallo DerMathematiker,
ein unbestimmtes Integral ist einfach ein Intregal ohne Grenzen, also so etwas:
[mm] \integral{f(x) dx}
[/mm]
im Gegensatz zu
[mm] \integral_a^b{f(x) dx}.
[/mm]
Bei einem unbestimmten Integral bildet man so zu sagen nur die Stammfunktion, und ist dann fertig; ich würde das dann so schreiben:
[mm] \integral{f(x) dx}=F(x)+C
[/mm]
Uneigentliche Integral treten in zwei Arten auf:
1. Art: Eine oder beide Integrationsgrenzen sind [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty
[/mm]
Man definiert dann:
[mm] \integral_a^\infty{f(x) dx}:=\limes_{b\to\infty}\integral_a^b{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^b{f(x) dx}:=\limes_{a\to-\infty}\integral_a^b{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^\infty{f(x) dx}:=\integral_{-\infty}^b{f(x) dx}+\integral_{b}^\infty{f(x) dx} [/mm] (siehe die beiden Def. vorher)
Dabei ist natürlich immer vorausgesetzt, dass die einzeln auftretenden Integral definiert sind und endlich sind.
2. Art: Der Integrationsbereich enthält eine Polstelle.
Man definiert dann, falls [mm] $c\in]a;b[$ [/mm] die Polstelle ist:
[mm] \integral_a^b{f(x) dx}:=\limes_{d\to c}\integral_a^d{f(x) dx}+\limes_{d\to c}\integral_d^b{f(x) dx}
[/mm]
Auch hier muß natürlich vorausgesetzt sein, dass die einzelnen Integrale existieren (und insbesondere endlich sind)-
Die Grundidee bei diesen Definitionen ist also, dass man die Integrale durch einen Grenzübergang darstellt und dabei nur bereits definierte Integrale mit festen Grenzen betrachtet.
An dancingestrella: Deine konkreten Integrale werde ich später nachrechnen, falls mir keiner zuvor kommt.
Alles Gute,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Fr 09.04.2004 | | Autor: | GrafZahl |
> Hallo dancingestrella, hallo DerMathematiker,
>
> ein unbestimmtes Integral ist einfach ein Intregal ohne
> Grenzen, also so etwas:
>
> [mm] \integral{f(x) dx}
[/mm]
>
> im Gegensatz zu
>
> [mm] \integral_a^b{f(x) dx}.
[/mm]
>
> Bei einem unbestimmten Integral bildet man so zu sagen nur
> die Stammfunktion, und ist dann fertig; ich würde das dann
> so schreiben:
>
> [mm] \integral{f(x) dx}=F(x)+C
[/mm]
...einfach nochmal zusammengefaßt (so hab ich mir das immer gut merken können):
Das bestimmte Integral ist eine Zahl
Das unbestimmte Integral ist eine Funktion
Das bestimmte Integral erhält man einfach durch eine "geeignete Auswertung", nämlich [m]F(b) - F(a)[/m] der Stammfunktion [m]F[/m], d.h. des unbestimmten Integrals.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Do 08.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella,
> generell bin ich auf Begriffe gestoßen, die ich nicht
> unterscheiden kann. Was bedeutet im Zusammenhang mit
> Integration:
> - (un)bestimmtes Integral
> - (un)eigentliches Integral
>
> Ich kenne nur einen uneigentlichen Grenzwert, wenn x gegen
> Unendlich läuft. Ist bei einem uneignetlichen Integral eine
> / beide (?) Grenzen "Unendlich" ???
Ja, das ist eine Art der "Uneigentlichkeit", siehe meine andere Antwort in diesem Thread.
> f(x)= [mm] (e^x)/(1+e^2x)
[/mm]
(Tipp zu unseren Formeln: Sobald der Exponent aus mehr als einem Zeichen besteht, klammere ihn mit geschweiften Klammern (die werden ja nicht dargestellt):
f(x)= [mm] (e^x)/(1+e^{2x})=\bruch{e^x}{1+e^{2x}}
[/mm]
> meine Stammfunktion lautet: F(x) = arctan(t)
> mit:
> t= [mm] e^x
[/mm]
> x= ln(t) =g(t)
> t^(-1) =g'(t)
> Stimmt das?
Das verstehe ich nicht -- was ist denn nun deine endgültige Stammfunktion? Ist das [mm] \arctan{e^x}?
[/mm]
Dann mache ich mal die Probe (das kannst du ja übrigens auch selbst machen, wenn du unsicher bist): [mm] \left(\arctan{e^x}\right)'=\bruch{1}{1+(e^x)^2}*e^x, [/mm] also: Bingo!
Das Folgende ist Quatsch, da im Zähler ja gar nicht die Ableitung des Nenners steht! (Das wäre der Fall wenn wir hätten [mm] f(x)=\bruch{e^{\red{2}\black{}x}}{1+e^{2x}}, [/mm] dann könnte man schreiben: [mm] f(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{2e^{\red{2}\black{}x}}{1+e^{2x}} [/mm] Sorry also für die Verwirrung, ich werde die folgende Passage löschen.
Für diesen Fall (wenn die Ableitung des Nenners im Zähler steht) gibt es aber auch eine spezielle Form der Substitutionsregel:
[mm] \integral_a^b{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx}=\left\lbrack \ln |f(x)| \right\rbrack_a^b
[/mm]
Diese Regel passt hier, wenn du schreibst:
[mm] \integral_a^b{\bruch{e^x}{1+e^{2x}}dx}=\bruch{1}{2}\integral_a^b{\bruch{2e^x}{1+e^{2x}}dx}
[/mm]
Das ist etwas einfacher -- finde ich-- aber das muß jeder für sich selbst entscheiden, Hauptsache doch, man erhält eine richtige Lösung  Übrigens kommt bei meinem Weg eine Stammfunktion ohne [mm] \arctan [/mm] raus.
Die weiteren Integral später (hoffentlich), da ich jetzt auch noch keine Idee dazu habe.
Alles Gute,
Marc
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> wie integriere ich denn: (x/(1-x))^(0,5) ?
...da fällt mir auch nix ein. Kommt diese Aufgabe aus einem Buch? Es würde mich gar nicht wundern, wenn es keine elementare Stammfunktion hierfür gibt - Wurzeln+Polynome sind oft fies, so sind z.B. sog. elliptische Funktionen nicht elementar integrierbar.
> und was mache ich bei [mm] (x*(x^2+1)*e^{-x^2}) [/mm] ?
> Kann mir bitte jemand helfen / Tipps geben?
...vielleicht gibt es eine schlaue direkte Lösung. Aber hier ein systematischer Lösungsweg:
Schritt 1:
[m]x*e^{-x^2}[/m] hat eine elementare Stammfunktion - substituiere z.B. mal [m]u=x^2[/m] . Probier's mal selbst...
Schritt 2:
Jetzt wird's schwierig, ich will [m]x^3*e^{-x^2}[/m] integrieren. Ich verwende dafür partielle Integration Das ist übrigens ein typischer Trick, um Funktionen der Form [m]x^n*irgendwas[/m] zu integrieren. Aber der Reihe nach:
Die partielle Integration besagt:
[mm] \integral {u'(x) v(x) dx} = u(x) v(x) - \integral u(x) v'(x) dx [/mm]
hoffentlich hattest Du das schon - sonst ist die Aufgabe sicher zu schwierig.
Schritt 3:
Wir setzen in diese Formel nun zunächst allgemein [m]u(x)=x^n[/m] und [m]v(x)=e^{-x^2}[/m] ein und gucken uns an, was passiert:
[mm] \integral {nx^{n-1} e^{-x^2} dx} = x^n e^{-x^2} - \integral x^n (-2x) e^{-x^2} dx = x^n e^{-x^2} +2 \integral x^{n+1} e^{-x^2} dx[/mm]
Diese Formel ist für alle [m]n[/m] gültig! Typisch ist jetzt, das das Integral rechts geschrieben werden kann als die Summe aus einer bekannten Funktion und einem Integral, in dem "der Exponent des [mm]x[/mm] kleiner ist".
Schritt 4:
In Schritt 3, setze einfach [m]n=2[/m]. Dann haben wir [mm]\integral x^{2+1} e^{-x^2} dx[/mm] auf eine elementare Funktion [mm]x^2 e^{-x^2}[/mm] und ein bekanntes Integral aus Schritt 1 zurückgeführt. Also:
[mm]
\integral x^{3} e^{-x^2} dx = \bruch{1}{2} ( x^2 e^{-x^2} - \integral {2x^{1} e^{-x^2} dx})
[/mm]
Wenn Du Schritt 1 gelöst hast, bist Du im Prinzip fertig.
Schritt 5:
Man muß jetzt "nur noch" das ganze ausrechnen und
[m]x*(x^2+1)*e^{-x^2}[/m] als
[mm]
x*(x^2+1)*e^{-x^2}=x^3*e^{-x^2}+x*e^{-x^2}
[/mm]
schreiben. Am besten die Probe am Schluß machen...
Ist das verständlich?
Graf Zahl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:39 Fr 09.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen,
allgemein gilt für [mm]P(x)=ax+b[/mm] und [mm]Q(x)=cx+d[/mm] die Beziehung:
[mm]\int \sqrt{\frac{P(x)}{Q(x)}}\, dx = \frac{1}{\sqrt{a}c^{\frac{3}{2}}} \left( \sqrt{acP(x)Q(x)} + (bc-ad) \ln \left( \sqrt{\frac{cP(x)}{a}} + \sqrt{Q(x)} \right) \right)[/mm].
Aber man sieht schon: Für [mm]c<0[/mm] (wie bei uns) sieht das ziemlich düster aus. Also sehe ich die Vermutung, dass es nicht elementar integrierbar ist, als bestärkt an.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo zusammen!
Okay, die Wurzelfunktion stelle ich hier mal zurück, wenn es so schwer ist, wird es wohl eher kaum um Abi drankommen - so hoffe ich.
Ja, ich habe die Funktion aus einer Lernhilfe,
Da gibt es auch Tipps zu den Aufgaben und die Lösungen, also der Tipp lautet: Substitution mit u = (1-x)^(0,5) führt auf Kreisintegral (hat mir nicht weitergeholfen). Die Stammfunktion ist:
F(x)= - ( (x*(1-x))^(0,5) + [mm] arctan(1-x)^0,5) [/mm] ) +c
Naja, ich habe bis jetzt noch keine Zeit gefunden, die e-Funktion weiter zu bearbeiten, werde mich aber morgen gleich ransetzen! Substitituion hatten wir kurz angesprochen, ich versuch es morgen.
Die Begrifflichkeiten habe ich jetzt aber verstanden, danke an alle!
Viele Grüße, dancingestrella
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Hallo,
Ja, ich habe es herausbekommen, es ging auch super mit dem Substituieren. Das war mir anfangs sehr suspekt, aber jetzt ist es okay.
danke, dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Fr 09.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe dancingestrella!
Okay, mit diesem Tipp geht es jetzt doch. Peinlich, dass wir das vorher nicht gesehen haben... :-(
> wie integriere ich denn: (x/(1-x))^(0,5) ?
Wir wollen also:
[mm]\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\, dx[/mm]
integrieren.
Im ersten Schritt substituieren wir [mm]u=\sqrt{1-x}[/mm] und erhalten wegen [mm]x=1-u^2[/mm] und [mm]dx = -2u\, du[/mm]:
[mm]\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\, dx =
\int \frac{\sqrt{1-u^2}}{u}\, (-2u)\, du = -2 \int \sqrt{1-u^2}\, du [/mm].
Nun substituieren wir [mm]u=\sin(v)[/mm] und erhalten wegen [mm]du = \cos(v) dv[/mm]
[mm]-2 \int \sqrt{1-u^2}\, du = -2 \int \sqrt{1-sin^2(v)}\, cos(v)\, dv = -2 \int \cos^2(v)\, dv[/mm].
Es gilt aber:
[mm]\cos^2(v) = \frac{1}{2}(\cos(2v) + 1)[/mm].
Daraus folgt:
[mm]-2 \int \cos^2(v)\, dv = -\int (\cos(2v) + 1)\, dv = -\frac{1}{2}\sin(2v) - v[/mm].
Nun müssem wir noch rücksubstituieren:
[mm]\frac{1}{2} \sin(2v)= \sin(v)\cos(v) = \sin(v) \sqrt{1-\sin^2(v)} = u \sqrt{1-u^2} = \sqrt{(1-x)x}[/mm]
und
[mm]v = \arcsin(u) = \arcsin(\sqrt{1-x})[/mm].
Ich erhalte also:
[mm]\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\, dx = - (\sqrt{(1-x)x} + \arcsin(\sqrt{1-x}))[/mm].
Du oder besser: das Lösungsbuch hatte was mit [mm]\arctan[/mm] raus. Tippfehler? 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
endlich habe ich nochmal mit deinem Substitutionsansatz die Wurzelintegration machen können... Ich habe es verstanden!!!
Dank unsere Formelsammlung brauche ich kein zweites mal zu substituieren, denn die Stammfunktion von [mm] (1-t^2)^{0,5} [/mm] ist da angegeben.
Und dann konnt ich das schon rücksubstituieren. Komme auf dasselbe wie du.
Vielen Dank für deine Hilfe,
dancingestrella
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