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| Aufgabe | Es sei f:[0,1] -> R stetig so dass [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 1/2
(i) Berechnen Sie [mm] \integral_{0}^{1}{x dx}
[/mm]
(ii) Zeigen Sie unter Benutzung von (i) dass die Gleichung f(x)=x mindestens eine Lösung in [0,1] hat |
Hi,
zunächst Aufagbe (i).. Als Ergebnis habe ich 1/2 raus und das war eindeutig zu einfach... ist da wirklich nichts weiter zu beachten?
Zu (ii) Hier habe ich dagegen nichtmal einen Ansatz
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mi 21.01.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> zunächst Aufagbe (i).. Als Ergebnis habe ich 1/2 raus und
> das war eindeutig zu einfach... ist da wirklich nichts
> weiter zu beachten?
Teil (i) ist wirklich einfach... und von dir richtig berechnet.
>
> Zu (ii) Hier habe ich dagegen nichtmal einen Ansatz
>
Kennst du den Mittelwertsatz der Integralrechnung? Der Satz besagt: Für eine stetige Funktion $g: [mm] [a,b]\rightarrow\IR$ [/mm] existiert ein [mm] $x_0\in[a,b]$, [/mm] so dass [mm] $\int_a^b [/mm] g(x)\ dx = [mm] g(x_0)\cdot [/mm] (b-a)$.
Wenn du den Satz auf beide Funktionen bzw. Integrale bzw. anwendest, ist die Lösung fast so einfach wie in (i).
Gruß, zetamy
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Hi,
also ich verstehs noch nicht ganz. Welche zwei Funktionen meinst du? Ich hab doch nur eine gegeben..
Oder ist damit gemeint:
[mm] \integral_{0}^{1}{x dx} [/mm] = [mm] f(x_{0}) [/mm] * (1-0)
Diese Gleichung würde doch nur stimmen wenn ich für [mm] x_{0}=1/2 [/mm] einsetze.. aber das kanns doch nicht sein oder?
lg
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Hallo aliaszero,
nein, das kanns in der Tat noch nicht sein, war aber von zetamy auch nicht so gemeint. Ich schreibe mal Deine Aufgabe minimal um:
> Es sei [mm] \a{}f:[0,1] \rightarrow\IR [/mm] stetig, so dass $ [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)\ dx} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
> Es sei [mm] \blue{g:[0,1] \rightarrow\IR\quad \a{}g(x)=x}
[/mm]
> (i) Berechnen Sie $ [mm] \integral_{0}^{1}{\blue{g(x)}\ dx} [/mm] $
> (ii) Zeigen Sie unter Benutzung von (i), dass die Gleichung
> [mm] f(x)\blue{-g(x)=0} [/mm] mindestens eine Lösung in [mm] \a{}[0,1] [/mm] hat.
Schon alles klar? Dann probiers erstmal selbst, bevor Du weiterliest.
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Nachdem (i) berechnet ist, ist ja bekannt:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x)\ dx}-\integral_{0}^{1}{g(x)\ dx}=0
[/mm]
Nun kannst Du mit dem Mittelwertsatz (oder mit dem Satz von Rolle) unmittelbar zeigen:
[mm] 0=\integral_{0}^{1}{f(x)\ dx}-\integral_{0}^{1}{g(x)\ dx}=(f(x)-g(x))*(1-0)=f(x)-g(x)
[/mm]
hat eine Lösung in [mm] \a{}[0,1].
[/mm]
lg,
reverend
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ok ich glaub jetzt hab ichs verstanden. Ich hatte nur ein Problem damit, dass man einfach so eine neue Funktion rein gestellt hat.
Kann ich es denn auch in der Form schreiben:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] = [mm] f(\varepsilon) \integral_{0}^{1}{g(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{x² dx} [/mm] = [mm] f(\varepsilon) [/mm] * [mm] \integral_{0}^{1}{x dx}
[/mm]
1/3 = [mm] f(\varepsilon) [/mm] * 1/2
2/3 = [mm] f(\varepsilon)
[/mm]
--> [mm] \varepsilon [/mm] = 2/3 [mm] \in [/mm] [0,1]
lg
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Ich hab doch keine neue Funktion reingestellt... ![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
Die war doch schon da, sie hieß nur noch nicht so.
Irreführend an der Dir vorliegenden Aufstellung ist doch die Suche nach f(x)=x. Das liest sich nicht richtig, es sieht so aus, als würde hier f(x) definiert, und das auch noch passend zur bekannten Vorgabe des bestimmten Integrals. Dabei ist hier doch gesucht x-f(x)=0, was zwar das gleiche ist, aber einen nicht gleich auf falsche Fährten lockt. f(x)=g(x) ist da konventioneller und auch deutlich weniger missverständlich.
Den Rest Deines Beitrags verstehe ich überhaupt nicht. Was tust Du da? Selbst wenn Du irgendein [mm] \varepsilon [/mm] ermitteln muss, verstehe ich nicht, warum du das so tust, wie Du es tust. Was sind das für Umformungen? Wie kommt denn auf einmal [mm] f(\varepsion) [/mm] vor das Integral?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
reverend
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Ich hab das aus dem "Höhere Mathematik 1, Meyberg, Vachenauer" Seite 165
Da steht:
Sind die Funktionen f,g auf [a,b] stetig, g(x)>=0 für alle x [mm] \in [/mm] [a,b], dann gibt es wenigstens eine Stelle [mm] \varepsilon \in [/mm] [a,b] mit
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}=f(\varepsilon) \integral_{a}^{b}{g(x) dx}
[/mm]
Ist das auf meine Aufgabe nicht zutreffend oder hab ich das doch nur falsch übernommen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Do 22.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst die Fkt (f(x)-x) betrachten und von 0 bis 1 integrieren. Du weisst das ergibt 0!
darauf wendest du jetzt den mittelwertsatz an!
Gruss leduart
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