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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mo 02.03.2009 | | Autor: | xPae |
Hi
ich muss:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x³+x²}{x²+3x+2} -x+2 dx}
[/mm]
Erstmal Polynomdivision
Poste nur mal mein Ergebnis:
[mm] x³+x²:x²+3x+2=x-2+\bruch{4x+4}{x³+3x+2}
[/mm]
Jetzt setze ich das oben ein:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{4x+4}{x³+3x+2}dx }
[/mm]
NS-Bestimmung des Nenners: [mm] x_{1}=-1 [/mm] v [mm] x_{1}=-2 [/mm]
dann folgt doch:
[mm] \bruch{4x+4}{x³+3x+2}= \bruch{A}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x+2}
[/mm]
4x+4 = A(x+2) + B(x+1)
x=-1 eingesetzt:
0 = A*1 + 0
-> A=0
x=-2
-4= 0 + (-B)
->B=4
Jetzt bin ich ein wenig misstrauisch mit der Null Oo
stimmt das denn so?
sonst einfach weiter:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{4}{x+2}dx } =4*\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+2}dx }= [/mm] 4*[ln(x+2)+C]
stimmt das denn, bin mir mit A=0 unsicher
danke für Korrektur
Gruß
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Hallo xPae,
das sieht doch gut aus. Hauptsache, Du hast noch im Blick, dass Du damit erst alle Nebenrechnungen erledigt hast, das ursprüngliche Integral aber noch nicht.
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x³+x²}{x²+3x+2} -x+2 dx}[/mm]
>
> Erstmal Polynomdivision
>
> Poste nur mal mein Ergebnis:
> [mm]x³+x²:x²+3x+2=x-2+\bruch{4x+4}{x^{\red{2}} +3x+2}[/mm]
[mm] ...=\bruch{4(x+1)}{(x+1)(x+2)} [/mm] 
> Jetzt setze ich das oben ein:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{4x+4}{x^{\red{2}} +3x+2}dx }[/mm]
>
> NS-Bestimmung des Nenners: [mm]x_{1}=-1[/mm] v [mm]x_{1}=-2[/mm]
>
> dann folgt doch:
>
> [mm]\bruch{4x+4}{x^{\red{2}} +3x+2}= \bruch{A}{x+1}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x+2}[/mm]
>
> 4x+4 = A(x+2) + B(x+1)
> x=-1 eingesetzt:
>
> 0 = A*1 + 0
> -> A=0
>
> x=-2
> -4= 0 + (-B)
> ->B=4
>
> Jetzt bin ich ein wenig misstrauisch mit der Null Oo
> stimmt das denn so?
Gesundes Misstrauen. Das kann nur passieren, wenn der zugehörige Faktor des Nenners gekürzt werden kann. Genau dieser Fall liegt hier ja vor - allerdings müsstest Du auch zeigen, dass die Unstetigkeit in x=-1 eine hebbare ist, schon in der ursprünglich vorliegenden Funktion.
> sonst einfach weiter:
tssss...
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{4}{x+2}dx } =4*\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+2}dx }=[/mm]
> 4*[ln(x+2)+C]
Üblicherweise steht das C allein in der Gegend herum:
[mm] 4\ln{(x+2)}+C
[/mm]
Nicht, dass das wirklich einen Unterschied machte...
> stimmt das denn, bin mir mit A=0 unsicher
> danke für Korrektur
> Gruß
So, und jetzt noch alles hübsch zusammenbasteln und fest verstauen. Auch das "-x+2" am Ende wieder drankleben!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Mo 02.03.2009 | | Autor: | xPae |
Alles klar, Vielen dank,
sorry das Quadrat hatte ich einmal vergessen und dann immer nur kopiert :]
danke für die schnelle antwort
Gruß
PS: [mm] \bruch{4(x+1)}{(x+1)*(x+2)} [/mm] hätte mir natürlich viel erspart ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Di 03.03.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo
> Gesundes Misstrauen. Das kann nur passieren, wenn der
> zugehörige Faktor des Nenners gekürzt werden kann. Genau
> dieser Fall liegt hier ja vor - allerdings müsstest Du >auch
> zeigen, dass die Unstetigkeit in x=-1 eine hebbare ist,
> schon in der ursprünglich vorliegenden Funktion.
>
> > sonst einfach weiter:
>
> tssss...
>
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{4}{x+2}dx } =4*\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+2}dx }=[/mm]
> > 4*[ln(x+2)+C]
>
> Üblicherweise steht das C allein in der Gegend herum:
> [mm]4\ln{(x+2)}+C[/mm]
>
> Nicht, dass das wirklich einen Unterschied machte...
>
> > stimmt das denn, bin mir mit A=0 unsicher
> > danke für Korrektur
> > Gruß
>
> So, und jetzt noch alles hübsch zusammenbasteln und fest
> verstauen. Auch das "-x+2" am Ende wieder drankleben!
Hab leider doch noch ne Frage. das -x+2 ist doch aber oben weggefallen, oder nicht? das x-2 und -x+2 verschwindet doch sozusagen, oder nicht?^^
sorry Gruß
>
> Grüße
> reverend
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Hallo xPae!
> Hab leider doch noch ne Frage. das -x+2 ist doch aber oben
> weggefallen, oder nicht? das x-2 und -x+2 verschwindet doch
> sozusagen, oder nicht?^^
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig erkannt. Deine Gesamtstammfunktion lautet also:
$$F(x) \ = \ [mm] 4*\ln|x+2|+C$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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