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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 So 10.05.2009 | | Autor: | matt101 |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)}dx}
[/mm]
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Ich habe 3 Lösungen gefunden und weiß nicht welche die richtige ist. Welche denkt ihr es ist richtig? (oder sind sie gleich?)
Lösung 1:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)}dx}= \integral_{}^{}{ 3x-2 dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x-1)}dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x-1)}dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x-1)}dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{2}x^2 [/mm] - 2x + [mm] ln(x-1)^3 [/mm] + k
Lösung 2:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)}dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ 3x-2 dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x-1)^3} dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{2}x^2 [/mm] - 2x - [mm] \bruch{1}{2} \bruch{1}{(x-1)^2} [/mm] + k
Lösung 3:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)}dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ 3x-2 dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{x-1} dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{x^2 -2x+2} dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{2}x^2 [/mm] - 2x + ln(x-1) + arctan (x-1)
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Hallo matt101,
> Berechnen Sie
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)}dx}[/mm]
>
> Ich habe 3 Lösungen gefunden und weiß nicht welche die
> richtige ist. Welche denkt ihr es ist richtig? (oder sind
> sie gleich?)
>
> Lösung 1:
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)}dx}= \integral_{}^{}{ 3x-2 dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x-1)}dx}[/mm] + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x-1)}dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x-1)}dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3}{2}x^2[/mm] - 2x + [mm]ln(x-1)^3[/mm] + k
>
> Lösung 2:
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)}dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{ 3x-2 dx}[/mm] + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{(x-1)^3} dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3}{2}x^2[/mm] - 2x - [mm]\bruch{1}{2} \bruch{1}{(x-1)^2}[/mm] +
> k
>
> Lösung 3:
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)}dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{ 3x-2 dx}[/mm] + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{x-1} dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{x^2 -2x+2} dx}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{3}{2}x^2[/mm] - 2x + ln(x-1) + arctan (x-1)
>
Keine dieser Lösungen stimmt.
Poste doch mal die Rechenschritte, wie Du zu diesen Lösungen gekommen bist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mo 11.05.2009 | | Autor: | matt101 |
Hi, sorry ich habe nen fehler in allen gemacht. (weiß nicht wie ich auf die addition statt multiplikation gekommen bin!!)
Ich versuche es jetzt durch Partialzerlegung das zu machen.
Die Frage ist muss ich das in 3 teile oder 2 zerlegen bzw. :
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{A}{x-1}dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{Bx+C}{(x-1)^2}dx}
[/mm]
oder
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{A}{x-1}dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{B}{(x-1)}dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{C}{(x-1)^2}dx}
[/mm]
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Hallo matt101,
> Hi, sorry ich habe nen fehler in allen gemacht. (weiß nicht
> wie ich auf die addition statt multiplikation gekommen
> bin!!)
>
> Ich versuche es jetzt durch Partialzerlegung das zu
> machen.
>
> Die Frage ist muss ich das in 3 teile oder 2 zerlegen bzw.
> :
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{A}{x-1}dx}[/mm] + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{Bx+C}{(x-1)^2}dx}[/mm]
>
> oder
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{A}{x-1}dx}[/mm] + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{B}{(x-1)}dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{C}{(x-1)^2}dx}[/mm]
Beide Ansätze stimmen nicht; es ist [mm] $x^2-2x+2\neq (x-1)^2$ [/mm] !!
[mm] $x^2-2x+2$ [/mm] hat keine reelle(n) Nullstelle(n)
Daher ist der Ansatz für die PBZ:
[mm] $\frac{3x-2}{(x-1)(x^2-2x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+2}$
[/mm]
Rechne das mal aus, dann bekommst du statt des Ausgangsintegrals eine Summe von Integralen, die du weiter verarzten kannst, von denen der Summand mit dem [mm] $x^2-2x-2$ [/mm] im Nenner aber etwas schwieriger ist.
Aber rechne erstmal die PBZ richtig aus, dann sehen wir weiter, vllt. kommst du ja auch schon alleine zurecht
LG und viel Erfolg
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Di 12.05.2009 | | Autor: | matt101 |
Ok danke,ich habe es so zerlegt und habe die werte von a b und c gefunden.
Wie integriert man aber das zweite teil?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Di 12.05.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo matt!
> Ok danke,ich habe es so zerlegt und habe die werte von a b
> und c gefunden.
Und was hast Du nun raus?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Di 12.05.2009 | | Autor: | matt101 |
Hi
A=1
b=-1
c=4
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Hallo matt!
> Wie integriert man aber das zweite teil?
Deine Werte stimmen. Substituiere nun:
$$z \ := \ x-1$$
Gruß vom
Roadrunner
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