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Forum "Schul-Analysis" - Integration
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Integration: Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Do 07.04.2005
Autor: McBlack

Hallo!

Kann mir bitte mal jemand kontrollieren, ob ich folgende Integration richtig erledigt hab? Vielen Dank!

[mm] \integral ln \left (\bruch{x^2}{x-a} \right )dx=\integral \left[lnx^2-ln(x-a)\right]dx=\integral lnx^2dx-\integral ln(x-a)dx [/mm]

Nun die beiden Integrale in Nebenrechnungen:

[mm] \integral lnx^2dx=2\integral lnx dx=2(xlnx-x+c)=2xlnx-2x+c=2x(lnx-1)+c [/mm]

und

[mm] \integral ln(\underbrace{x-a}_{=t})dx [/mm]

[mm] t=x-a \Rightarrow x=t-a [/mm]

[mm]\bruch{dx}{dt}=1 \Rightarrow dx=dt[/mm]

[mm] \integral ln(x-a)dx= \integral lnt dt=tlnt-t+c \overbrace{=}^{Rücksubstition}(x-a)ln(x-a)-(x-a)+c=(x-a)[ln\bruch{x}{a}-1]+c [/mm]

Für das gesamte Integral dann:

[mm]\integral ln \left(\bruch{x^2}{x-a} \right)=...=\integral lnx^2 dx-\integral ln(x-a)dx=2x(lnx-1)-(x-a)(ln\bruch{x}{a}-1)+c [/mm]

Gruß

McBlack

        
Bezug
Integration: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Do 07.04.2005
Autor: Loddar

Hallo McBlack!



> [mm]\integral ln \left (\bruch{x^2}{x-a} \right )dx=\integral \left[lnx^2-ln(x-a)\right]dx=\integral lnx^2dx-\integral ln(x-a)dx[/mm]

[daumenhoch]



> Nun die beiden Integrale in Nebenrechnungen:
>  
> [mm]\integral lnx^2dx=2\integral lnx dx=2(xlnx-x\red{)}+c=2xlnx-2x+c=2x(lnx-1)+c[/mm]

[daumenhoch] Siehe kleine Korrektur mit Klammern ...


> und
>  
> [mm]\integral ln(\underbrace{x-a}_{=t})dx[/mm]
>  
> [mm]t=x-a \Rightarrow x=t-a[/mm]
>  
> [mm]\bruch{dx}{dt}=1 \Rightarrow dx=dt[/mm]

[daumenhoch] Sehr gut ...




> [mm]\integral ln(x-a)dx= \integral lnt dt=tlnt-t+c \overbrace{=}^{Rücksubstition}(x-a)ln(x-a)-(x-a)+c=(x-a)[ln\bruch{x}{a}-1]+c[/mm]

[notok] Wie kommst Du denn plötzlich auf den Bruch als ln-Argument?? [haee]




> Für das gesamte Integral dann:
>  
> [mm]\integral ln \left(\bruch{x^2}{x-a} \right)=...=\integral lnx^2 dx-\integral ln(x-a)dx=2x(lnx-1)-(x-a)(ln\bruch{x}{a}-1)+c[/mm]

Fast ... Beim letzten ln muß halt "(x-a)" als Argument stehen
(und nicht [mm] $\bruch{x}{a}$) [/mm] ...

[mm]\integral \ln \left(\bruch{x^2}{x-a} \right) \ dx \ = \ 2x*\left[\ln(x)-1\right] - (x-a)*\left[\ln(x-a)-1\right] \ + \ c[/mm]


Zur Kontrolle (als Probe) kannst Du ja gerne diesen Ausdruck ableiten, dann sollte auch wieder die ursprüngliche Funktion herauskommen ...

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Integration: @Loddar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:39 Do 07.04.2005
Autor: McBlack

Danke für die Antwort!

Ja, stimmt, ich hab da das 2.Logarithmusgesetz falsch angewendet.
Aber das is ja nur ein kleiner Fehler, der am Integrationsprinzip nix ausmacht!

Gruß

McBlack

Bezug
                        
Bezug
Integration: Aber unnötiger Fehler ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Do 07.04.2005
Autor: Loddar


> Aber das is ja nur ein kleiner Fehler, der am
> Integrationsprinzip nix ausmacht!

Da hast Du wohl recht ...

... wäre aber schade, wenn man in einer Prüfung so leichtfertig Punkte verschenkt, oder?


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Fr 08.04.2005
Autor: McBlack

Ja richtig!

Ich wage jetzt zu behaupten, dass mir das unter voller Konzentration nicht passiert wäre. ;-)

Aber hier darf ich ja zum Glück Fehler machen!

Gruß


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