Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie: [mm] \integral_{1}^{e} \bruch{dx}{x lnx} [/mm] |
Hallo,
hab da ne Frage/Problem mit den Grenzen.
Mein Ansatz bisher:
Lösung über Substitution: t = lnx -> [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] -> dx = x dt
Zusammen:
[mm] \integral_{1}^{e} \bruch{1}{x t}x [/mm] dt -> [mm] \integral_{1}^{e} \bruch{1}{t} [/mm] dt = [mm] [lnt]_{1}^{e}
[/mm]
Rücksubstitution:
t = lnx -> lnt = lnlnx => [mm] [lnlnx]_{1}^{e} [/mm] = lnlne - lnln1
lne = 1 -> lnlne = 0, aber ln1 ist nicht definiert ->
Und hier hänge ich jetzt fest. Kann mich dunkel daran erinnern, dass es die Möglichkeit über einen Grenzwert gab. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Grüße
|
|
| |
|
Hallo Hoffmann79,
> Berechnen Sie: [mm]\integral_{1}^{e} \bruch{dx}{x lnx}[/mm]
> Hallo,
>
> hab da ne Frage/Problem mit den Grenzen.
>
> Mein Ansatz bisher:
>
> Lösung über Substitution: t = lnx -> [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] -> dx = x dt
>
> Zusammen:
>
> [mm]\integral_{1}^{e} \bruch{1}{x t}x[/mm] dt -> [mm]\integral_{1}^{e} \bruch{1}{t}[/mm]
> dt = [mm][lnt]_{1}^{e}[/mm]
>
> Rücksubstitution:
>
> t = lnx -> lnt = lnlnx => [mm][lnlnx]_{1}^{e}[/mm] = lnlne - lnln1
>
> lne = 1 -> lnlne = 0, aber ln1 ist nicht definiert ->
>
> Und hier hänge ich jetzt fest. Kann mich dunkel daran
> erinnern, dass es die Möglichkeit über einen Grenzwert
> gab. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Um den Wert des Integrals auszurechnen, solltest Du so verfahren:
[mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{t} \ dt}=\limes_{\varepsilon \rightarrow 0}\integral_{\varepsilon}^{1}{ \bruch{1}{t} \ dt}[/mm]
>
> Grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower,
ist das Verändern der Grenzen Absicht? Das bedeutet, das Integral läuft jetzt von 0 bis 1?
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Di 29.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
Aufgrund der vorherigen Substitution musst Du auch die Integrationsgrenzen entsprechend dieser Substitution verändern.
Oder Du bestimmt zunächst die Stammfunktion als unbestimmtes Integral und verwendest dann die ursprünglichen Integrationsgrenzen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Loddar,
ist meine Version nicht die, mit der Stammfunktion und den alten Grenzen?
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Di 29.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
Doch schon ... aber Du musst dann auch die entsprechende Grenzwertbetrachtung durchführen.
Diese scheint mir jedoch mit Mathepower's Version etwas einfacher ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Entschuldige bitte, aber ich stehe trotzdem auf dem Schlauch. Nach MathePower's Ansatz:
[mm] \limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}\integral_{\epsilon}^{1}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] führt doch wieder auf mein Ausgangsproblem -> [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}[lnt]_{\epsilon}^{1} [/mm] = ln1 - [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}ln\epsilon
[/mm]
Ist der Grenzwert [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}ln\epsilon [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
|
|
|
| |
|
> Entschuldige bitte, aber ich stehe trotzdem auf dem
> Schlauch. Nach MathePower's Ansatz:
>
> [mm]\limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}\integral_{\epsilon}^{1}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> führt doch wieder auf mein Ausgangsproblem ->
> [mm]\limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}[lnt]_{\epsilon}^{1}[/mm] = ln1 -
> [mm]\limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}ln\epsilon[/mm]
>
> Ist der Grenzwert [mm]\limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}ln\epsilon[/mm]
> = [mm]\infty[/mm] ?
>
naja, man sagt eher, der grenzwert ist nicht existent, er strebt aber gegen [mm] -\infty, [/mm] nicht [mm] \infty
[/mm]
>
>
gruß tee
|
|
|
| |
|
Hallo fencheltee,
du hast natürlich recht, das sieht man auch sehr gut am Graphen der Logarithmusfunktion.
Dann ist die Lösung der Aufgabe letztendlich [mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{dx}{x lnx}} [/mm] = ... = [mm] \infty [/mm] ?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Di 29.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Di 29.06.2010 | | Autor: | Hoffmann79 |
Vielen Dank euch allen !!! 
|
|
|
|
