Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Sa 19.03.2011 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Aufgabe:
K:= {(x,y) [mm] \in R^{2} [/mm] : [mm] 1\le x^{2} +y^{2}\le [/mm] 4}
und die Funktion
f(x,y) = [mm] \bruch {1}{(x^{2} +y^{2})^{2}}
[/mm]
Berechnen Sie das Integral
[mm] \integral_{k}^{}{f(x,y) d(x,y)} [/mm] |
Die Menge K, ist ein Kreisring der von Radius 1 bis Radius 2 verläuft.
Da der Kreisring symmetrisch ist , reicht es ein Integral über einen Quadranten (quadrant 1 ) zu berechnen und dann mit 4 zu multiplizieren.
einmal der innere Kreisring ist gegeben durch die Funktion y = [mm] \wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
und der äußere y = [mm] \wurzel{4-x^{2}}
[/mm]
ich habe 2 Normalbereiche
einmal in x- Richtung von 0 bis 1 und dann von 1 bis 2
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{\wurzel{1-x^{2}}}^{\wurzel{4-x^{2}}}{\bruch {1}{(x^{2} +y^{2})^{2}} dydx} +\integral_{1}^{2}\integral_{0}^{\wurzel{4-x^{2}}}{\bruch {1}{(x^{2} +y^{2})^{2}} dydx}
[/mm]
kann das stimmen?
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo StevieG,
> Aufgabe:
>
> K:= {(x,y) [mm]\in R^{2}[/mm] : [mm]1\le x^{2} +y^{2}\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
4}
>
> und die Funktion
>
> f(x,y) = [mm]\bruch {1}{(x^{2} +y^{2})^{2}}[/mm]
>
> Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\integral_{k}^{}{f(x,y) d(x,y)}[/mm]
> Die Menge K, ist ein
> Kreisring der von Radius 1 bis Radius 2 verläuft.
>
> Da der Kreisring symmetrisch ist , reicht es ein Integral
> über einen Quadranten (quadrant 1 ) zu berechnen und dann
> mit 4 zu multiplizieren.
>
> einmal der innere Kreisring ist gegeben durch die Funktion
> y = [mm]\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
> und der äußere y = [mm]\wurzel{4-x^{2}}[/mm]
>
> ich habe 2 Normalbereiche
>
> einmal in x- Richtung von 0 bis 1 und dann von 1 bis 2
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{\wurzel{1-x^{2}}}^{\wurzel{4-x^{2}}}{\bruch {1}{(x^{2} +y^{2})^{2}} dydx} +\integral_{1}^{2}\integral_{0}^{\wurzel{4-x^{2}}}{\bruch {1}{(x^{2} +y^{2})^{2}} dydx}[/mm]
>
>
> kann das stimmen?
Die Integrale müssen von der Bauart
[mm]\integral_{0}^{s}\integral_{0}^{\wurzel{s-x^{2}}}{\bruch {1}{(x^{2} +y^{2})^{2}} dydx}[/mm]
sein, wobei s der Radius des entsprechenden Kreises ist.
Andere Möglichkeit ist die Verwendung von Polarkoordinaten.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Sa 19.03.2011 | | Autor: | StevieG |
was ist den bei mir falsch? ich habe es in Normalbereiche aufgeteilt?
|
|
|
| |
|
Hallo StevieG,
> was ist den bei mir falsch? ich habe es in Normalbereiche
> aufgeteilt?
Beim ersten Term sind die Grenzen
des inneren Integrals nicht richtig.
Beim zweiten Term sind die Grenzen
des äußerene Integrals nicht richtig.
Und dann muß nicht die Summe, sondern die Differenz
dieser beiden Terme gebildet werden.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Sa 19.03.2011 | | Autor: | StevieG |
ich verstehe nicht wieso es falsch ist.
das erste integral
ist in x-Richtung von 0 bis 1
und in y Richtung wird es von den beiden Funktionen eingeschlossen?
bei deiner methode rechnet man das große integral des ganzen kreises mit radius 2 aus und zieht den kleinen kreis mit radius ab.
aber ich will nur ein viertelkreis im ersten quadranten ausrechnen.
meine Normalbereiche sind durch meine grenzen beschrieben
|
|
|
| |
|
Hallo StevieG,
> ich verstehe nicht wieso es falsch ist.
Ich habe mir das nochmal genauer angeschaut,
und bin zu dem Schluss gekommen, daß Deine
und meine Variante äquivalent sind.
>
> das erste integral
>
> ist in x-Richtung von 0 bis 1
>
> und in y Richtung wird es von den beiden Funktionen
> eingeschlossen?
> bei deiner methode rechnet man das große integral des
> ganzen kreises mit radius 2 aus und zieht den kleinen kreis
> mit radius ab.
>
> aber ich will nur ein viertelkreis im ersten quadranten
> ausrechnen.
Mit meiner Methode rechne ich auch nut einen VIertelkreis aus.
>
> meine Normalbereiche sind durch meine grenzen beschrieben
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Sa 19.03.2011 | | Autor: | StevieG |
Also stimmt es! Jawohl ich dachte schon ich habe nichts mehr verstanden 
das Problem mit den kartesischen koordinaten sind jetzt die Stammfunktionen:
als erstes erstmal nach y aufintegrieren
da bin ich überfordert?
Versuche es grad auch noch mal mit polarkoordinaten da vereinfacht sich die funktion extrem, da [mm] cos^2 +sin^2 [/mm] = 1
|
|
|
| |
|
Hallo Stevieg,
> Also stimmt es! Jawohl ich dachte schon ich habe nichts
> mehr verstanden
>
> das Problem mit den kartesischen koordinaten sind jetzt die
> Stammfunktionen:
>
> als erstes erstmal nach y aufintegrieren
>
> da bin ich überfordert?
Die Integration nach y ist sicherlich möglich.
>
> Versuche es grad auch noch mal mit polarkoordinaten da
> vereinfacht sich die funktion extrem, da [mm]cos^2 +sin^2[/mm] = 1
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Sa 19.03.2011 | | Autor: | StevieG |
ich habe per Polarkoordinaten den Wert [mm] \bruch{3}{4} \pi [/mm] raus.
kannst du mir sagen wie ich diese Aufgabe bei Wolfram Alpha überprüfen könnte (vom eintippen her)
|
|
|
| |
|
Hallo StevieG,
> ich habe per Polarkoordinaten den Wert [mm]\bruch{3}{4} \pi[/mm]
> raus.
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> kannst du mir sagen wie ich diese Aufgabe bei Wolfram Alpha
> überprüfen könnte (vom eintippen her)
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Sa 19.03.2011 | | Autor: | StevieG |
jawohl saustark!
|
|
|
| |
|
> ich habe per Polarkoordinaten den Wert [mm]\bruch{3}{4} \pi[/mm]
> raus.
>
> kannst du mir sagen wie ich diese Aufgabe bei Wolfram Alpha
> überprüfen könnte (vom eintippen her)
integrate (integrate [mm] 1/r^4*r [/mm] dr from r=1 to 2)dw from w=0 to 2*pi
(nur für die Integration mit selber korrekt eingesetzter
Transformation des Differentials $\ d(x,y)$ in $\ r*dr*dw$ )
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Aufgabe:
>
> $\ K:=\ [mm] \{\ (x,y)\in \IR^2\ :\ \ 1\le x^2 +y^2\le 4\ \}$
[/mm]
>
> und die Funktion
>
> f(x,y) = [mm]\bruch {1}{(x^2 +y^2)^2}[/mm]
>
> Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\integral_{K}^{}{f(x,y)\ d(x,y)}[/mm]
> Die Menge K ist ein Kreisring der von Radius 1
> bis Radius 2 verläuft.
Das Beispiel schreit fast danach, Polarkoordinaten
zu verwenden !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Sa 19.03.2011 | | Autor: | StevieG |
hehe
|
|
|
|
