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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Fr 01.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Integriere: [mm] $\integral_0^{\frac{\pi}{2}} cos(x)\cdot \sqrt{sin(x)} [/mm] dx$ |
Ich hab so angefangen:
[mm] $\integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \sqrt{\underbrace{sin(x)}_{=g(x)}}dx [/mm] = ...$
Da es sich ja hier um evidente innere Ableitung handelt, substituiere ich die Funktion unter der Wurzel. Also so:
$g(x) = sin(x)$
Aber wie gehts da dann weiter? Wenn ich jetzt so weiter mach wie ich es gewohnt bin, dann komm ich auf das hier:
$arcsin(g) = x(g) [mm] \Rightarrow \frac{dx}{dg} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{1-g^2}} \Rightarrow [/mm] dx = [mm] \frac{1}{\sqrt{1-g^2}}dg$
[/mm]
Das erscheint mir dann später beim integrieren aber relativ kompliziert, insbesondere deswegen weil ich ich jetzt nämlich noch partiell Integrieren müsste!
Könnt ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Fr 01.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
leit doch mal [mm] (sin(x))^{3/2} [/mm] ab!
Integranden der Form [mm] f'*\wurzel{f} [/mm] sollte man erkennen weil [mm] (f^{3/2})'=3/2*f'*\wurzel{f} [/mm] ergibt!
wurzeln sollte man immer als [mm] a^1/2 [/mm] schreiben! sie sind ein Überbleibsel der Anfänge der mathe!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Fr 01.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Was ich verstehe ist, wenn du schreibst ich soll die Wurzeln als Exponent schreiben also so:
$ [mm] \integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \sqrt{\underbrace{sin(x)}_{=g(x)}}dx [/mm] = [mm] \integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \underbrace{sin(x)^{\frac{1}{2}}}_{=g(x)}dx [/mm] = ...$
Wie du dann allerdings darauf kommst, dass ich [mm] \frac{d}{dx}\left(sin(x)^{\frac{3}{2}}\right) [/mm] berechnen soll ist mir schleierhaft...
Wie man nun nach der Ableitung von g(x) erkennen kann ist das, das gleiche wie der Integrand, aber mit einem zusätzlichen Faktor: [mm] $\frac{3}{2} \cdot sin(x)^{\frac{1}{2}} \cdot [/mm] cos(x). Es ist mir aber immer noch schleierhaft wie du darauf kommst, dass man ausgerechnet den Exponenten [mm] $\frac{3}{2}$ [/mm] haben muss und dass dann Ableiten...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Fr 01.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du es denn mal berechnet?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Fr 01.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Ja, ich hab's editiert...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Fr 01.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie man drauf kommt: indem man oft differenziert hat,
also [mm] (f^r)'=r*f^{r-1}*f'
[/mm]
damit kannst du dann etwa auch [mm] \frac{sin(x)}{\wurzel{cos(x)}} [/mm] oder [mm] x*(x^2+a)^r [/mm] integrieren.
ein weiterer "trick" ist (ln(f(x))'=f'/f wenn die ableitung des Nenners (bis auf nen Zahlenfaktor im Zähler steht.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Fr 01.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Nun, ich hab nun das hier:
$ [mm] \integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \sqrt{\underbrace{sin(x)}_{=g(x)}}dx [/mm] = [mm] \integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \underbrace{sin(x)^{\frac{1}{2}}}_{=g(x)}dx [/mm] = ... $
Des Weiteren eben noch die Ableitung:
$ [mm] \frac{d}{dx}\left(sin(x)^{\frac{3}{2}}\right) [/mm] = [mm] \frac{3}{2} \cdot sin(x)^{\frac{1}{2}} \cdot [/mm] cos(x)$
Und wie füge ich die beiden Teile nun zusammen?
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Hallo bandchef,
> Nun, ich hab nun das hier:
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> [mm]\integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \sqrt{\underbrace{sin(x)}_{=g(x)}}dx = \integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \underbrace{sin(x)^{\frac{1}{2}}}_{=g(x)}dx = ...[/mm]
Ok, die Umschreibung stimmt, du willst partiell integrieren?
>
>
>
> Des Weiteren eben noch die Ableitung:
>
> [mm]\frac{d}{dx}\left(sin(x)^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{3}{2} \cdot sin(x)^{\frac{1}{2}} \cdot cos(x)[/mm]
Stimmt auch, aber wozu brauchst du das?
>
> Und wie füge ich die beiden Teile nun zusammen?
Bei partieller Integration nach diesem Ansatz wird's m.E. immer komplizierter.
Substituiere direkt [mm] $t=\sin(x)$, [/mm] dann wird es ganz leicht und geht sehr schnell ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Fr 01.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Du meinst also so:
$ [mm] \integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \sqrt{\underbrace{sin(x)}_{=g(x)}}dx [/mm] = [mm] \integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \underbrace{sin(x)^{\frac{1}{2}}}_{=g(x)}dx [/mm] = ... $
$t(x)=sin(x) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x(t)=arcsin(t) [mm] \Leftrightarrow dx=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$
[/mm]
$... = [mm] \integral_{t(0)}^{t(\frac{\pi}{2})} [/mm] cos(x) [mm] \sqrt{t} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} [/mm] dt = ...$
Das ist aber jetzt schon auch ziemlich schwer. Ich muss da ja dann noch partiell Integrieren!
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Hallo nochmal,
> Du meinst also so:
>
> [mm]\integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \sqrt{\underbrace{sin(x)}_{=g(x)}}dx = \integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \underbrace{sin(x)^{\frac{1}{2}}}_{=g(x)}dx = ...[/mm]
>
> [mm]t(x)=sin(x) \Leftrightarrow x(t)=arcsin(t) \Leftrightarrow dx=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt[/mm]
>
> [mm]... = \integral_{t(0)}^{t(\frac{\pi}{2})} cos(x) \sqrt{t} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = ...[/mm]
Du hast [mm]t=\sin(x)[/mm], drücke [mm] $\cos(x)$ [/mm] nun noch in der Variable $t$ aus.
Du kennst sicher den bekanntesten Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus: [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm] ...
Das Integral vereinfacht sich dann immens ...
>
> Das ist aber jetzt schon auch ziemlich schwer. Ich muss da
> ja dann noch partiell Integrieren!
Nö, vereinfache vor dem Integrieren!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Fr 01.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Das verstehe ich nicht: "Du hast $ [mm] t=\sin(x) [/mm] $, drücke $ [mm] \cos(x) [/mm] $ nun noch in der Variable t aus." Warum soll ich jetzt cos(x) auch noch anfassen?
Wenn ich jetzt in der Substitution den sehr bekannten Zusammenhang anwende komm ich auf das hier: $x(t) = [mm] arccos(\sqrt{1-t^2}$. [/mm] Das ist doch wohl noch schwerer, oder?
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Hallo nochmal,
> Das verstehe ich nicht: "Du hast [mm]t=\sin(x) [/mm], drücke
> [mm]\cos(x)[/mm] nun noch in der Variable t aus." Warum soll ich
> jetzt cos(x) auch noch anfassen?
Na, weil das [mm] $\sqrt{1-t^2}$ [/mm] ist, das kürzt sich also raus!
Bleibt das einfache Integral [mm] $\int{\sqrt{t} \ dt}$
[/mm]
>
> Wenn ich jetzt in der Substitution den sehr bekannten
> Zusammenhang anwende komm ich auf das hier: [mm]x(t) = arccos(\sqrt{1-t^2}[/mm].
> Das ist doch wohl noch schwerer, oder?
Keine Ahnung, was du da treibst.
Wie integrierst du denn mit zwei verschiedenen Variablen im Integral??
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Fr 01.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich führe mal die gesamte Rechnung wie ich grad auf das richtige Ergebnis gekommen bin.
$ [mm] \integral_0^{\frac{\pi}{2}} \underbrace{cos(x)}_{=g'(x)} \cdot \sqrt{\underbrace{sin(x)}_{=g(x)}}dx [/mm] = ... $
[mm] $t=sin(x)^{\frac{1}{2}} \Rightrightarrow t^2=sin(x) \Rightarrow [/mm] x(t) = [mm] arcsin(t^2) \Rightarrow dx=\frac{2t}{\sqrt{1-t^4}}dt$
[/mm]
$... = [mm] \integral_{t(0)}^{t(\frac{\pi}{2})} cos(arcsin(t^2)) \cdot [/mm] t [mm] \cdot \frac{2t}{\sqrt{1-t^4}}dt [/mm] = [mm] 2\integral_{0}^{1}t^2dt \Rightarrow \frac{2}{3}$
[/mm]
Das Problem hieran ist aber, dass man eben WISSEN MUSS, dass [mm] $cos(arcsin(t^2)) [/mm] = [mm] \sqrt{1-t^4}$ [/mm] ist. Gibts eben deswegen noch was einfacheres?
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Hallo,
gute Güte, ist das kompliziert. Warum musst Du denn unbedingt x(t) nach dt ableiten? Um den Zusammenhang der beiden Differentiale zu ermitteln, kannst Du doch genausogut t(x) nach dx ableiten.
Es ist [mm] t(x)=(\sin{x})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Also [mm] \bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{2}(\sin{x})^{-\bruch{1}{2}}\cos{x}
[/mm]
Damit folgt [mm] dx=\bruch{2(\sin{x})^{\bruch{1}{2}}}{\cos{x}}dt
[/mm]
Jetzt setz das mal in Dein Integral ein, kürze, fasse zusammen etc., und nur das, was dann noch übrigbleibt, drückst Du als Funktion von t aus.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Fr 01.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Ok, reverend.
So wie du das jetzt gezeigt hast, hab ich mir auch schon überlegt. Laut unserer Professorin sollen wir das aber SO nicht machen. Weil es sich hier um eine evidente Ableitung handelt geht das zwar so, aber in manchen Fällt eben auch nicht. Das war die Begründung unserer Dozentin. Laut derer sollen wir eben die Umkehrfunktion der Substituierten Funktion bilden und die dann nach der jeweiligen Variable ableiten. Dies ist eine Möglichkeit die "angeblich" immer zum Ziel führen soll.
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Hallo bandchef,
da verstehe ich Deine Dozentin nicht. Keine Ahnung, wozu das gut sein soll, bzw. warum der andere Weg nicht funktionieren könnte.
Aber auch dann geht es noch einfacher als Deine Vorlage:
[mm] t=\wurzel{\sin{x}}\ \gdw\ x=\arcsin{t^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{dx}{dt}=\bruch{2t}{\wurzel{1-t^4}}
[/mm]
Und dazu braucht man doch nur die Kettenregel und das Wissen, wie die Ableitung des arcsin ist - wie Angela schon schrieb.
Nur vereinfacht sich das Integral so eigentlich gar nicht, jedenfalls nicht ohne ellenlanges Herumrechnen.
Vielleicht rechnet Deine Dozentin ja einfach gerne?
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Fr 01.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
antwort an eure Dozentin: beim integrieren ist jeder Trick erlaubt. geschickt substituieren kann man nur wenn man erfahrung mit differenzieren hat.
deshal nochmal: f statt f(x)
[mm] (f^r)'=r*f^{r-1}*f'
[/mm]
deshalb ist [mm]\integral{f^{r-1}*f'(x) dx}=1/r*\integral{r*f^{r-1}*f'(x) dx}[/mm]
oder [mm]\integral{f^{a}*f'(x) dx}=1/(a+1)*\integral(a+1)*f^{a}*f'(x) dx}=f^{a+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
in deinem Fall hast du r=0.5 und f(x)=sin(x)
kannst du dann auch cosx/\wurzel{sin(x)) integrieren ?
für a kann man dabei jede reelle zahl einsetzen.
Wenn du x^2 integrierst, hast du doch auch 1/3x^3, weil du weisst, dass beim differenzieren von x^3 der faktor 3 auftritt also weil (x^3)'=3x^2
oder woher weisst du die 1/3
auch x^2 kann man mit Substitution lösen x^2*1 x^2=u 1=v'
wenn man den faktor nicht kennt!
Gruss leduart
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Hallo bandchef,
wenn Du leduarts erfahrenem Tipp schon nicht folgen willst, dann sparst Du Dir eine Menge Arbeit, wenn Du wenigstens so substituierst:
[mm] t=\wurzel{\sin{x}}
[/mm]
Probiers mal.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 01.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich [mm] $t=\sqrt{sin(x)}$ [/mm] substituiere komm ich nun zwar auf ein Ergebnis, nämlich [mm] $\frac{2}{3}$, [/mm] aber man MUSS WISSEN, dass [mm] $cos(arcsin(t^2)) [/mm] = [mm] \sqrt{1-t^4}$ [/mm] ist... Aber: Wer weiß das schon ohne Unterstützung der Formelsammlung bzw. Maple o.ä.?
Ich wäre dem erfahrenen Tip von leduart gerne gefolgt, wenn ich noch genauere Informationen dazu bekommen hätte. Mir kam das alles nach Hexerei vor, insbesondere dieser Exponent [mm] $\frac{3}{2}$.
[/mm]
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> Wenn ich [mm]t=\sqrt{sin(x)}[/mm] substituiere komm ich nun zwar auf
> ein Ergebnis, nämlich [mm]\frac{2}{3}[/mm], aber man MUSS WISSEN,
> dass [mm]cos(arcsin(t^2)) = \sqrt{1-t^4}[/mm] ist...
Hallo,
wie hast Du denn gerechnet?
Ich muß das für meine Substitution mit $t=sin(x)$ nicht wissen.
Gebraucht habe ich die Ableitung von arcsin(t).
EDIT:
ich sehe, daß ich eben ausgeblendet hatte, daß Deine Substitution mit [mm] t=\wurzel{sin(x)} [/mm] war.
Meine geht mit t=sin(x), und dafür muß man wirklich nichts besonderes wissen.
Ich würdemeinen, daß dies der Standardweg ist.
> Aber: Wer weiß
> das schon ohne Unterstützung der Formelsammlung bzw. Maple
> o.ä.?
>
> Ich wäre dem erfahrenen Tip von leduart gerne gefolgt,
> wenn ich noch genauere Informationen dazu bekommen hätte.
> Mir kam das alles nach Hexerei vor, insbesondere dieser
> Exponent [mm]\frac{3}{2}[/mm].
Machmal lernt man etwas, wenn man einfach mal tut, was einem geraten wird.
Hier könnte der Lerneffekt der sein, daß Du bei einer ähnlich gelagerten Aufgabe schnell eine Idee hast, was eine Stammfunktion sein könnte.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Fr 01.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Schau mal meine letzte Antwort an. Da hab ich diese Rechnung mit der Subs. von $ [mm] t=\sqrt{sin(x)} [/mm] $ kompleet ausgeführt!
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> Schau mal meine letzte Antwort an. Da hab ich diese
> Rechnung mit der Subs. von [mm]t=\sqrt{sin(x)}[/mm] kompleet
> ausgeführt!
Hallo,
schau mal meine editierte Antwort an!
Gruß v. Angela
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