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| Aufgabe | Integriere! Schreibe dazu das Quadrat als Produk, integriere und führe das entstehende Integral mittels sin²x+cos²x=1 auf das gegebene zurück!
a) [mm] \integral_{}^{}{f(x)=sin^2x dx} [/mm] |
Okay, dass ist jetzt eigentlich echt peinlich, weil man so etwas als Matehmatikstudent eigentlich können sollte...
Eine Nachhilfeschülerin von mir ist neulich mit der Aufgabe dahergekommen.
Sie steht in ihrem Buch unter der Überschrift Partielle Integration.
So wie ich die Aufgabe interpretiere muss man sin²x als sinx*sinx schreiben.
Nachdem die Aufgabe zur Übung von Partieller Integration gedacht ist, hab ich dann erstmal folgendes probiert:
f(x)=sinx ; g(x)=sinx ; F(x)=-cosx ; g'(x)=cosx
[mm] \integral_{}^{}{sinx*sinx dx}=-cosx*sinx-\integral_{}^{}{-cosx*cosxdx}
[/mm]
[mm] =-cosx*sinx+\integral_{}^{}{cosx*cosx dx}
[/mm]
Eigenlich würde ich jetzt cos²x=1-sin²x anwenden. So dass ich auf folgendes komme:
[mm] \integral_{}^{}{sin^2(x)dx}=-sin(x)*cos(x)+\integral_{}^{}{(1-sin^2(x))dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin^2(x)dx}=-sin(x)*cos(x)+\integral_{}^{}{1dx}-\integral_{}^{}{sin^2(x)dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin^2(x)dx}=-sin(x)*cos(x)+x-\integral_{}^{}{sin^2(x)dx}
[/mm]
Ich steh jetzt vor folgendem Problem: Ich müsste ja sin²x wieder integrieren, wobei ich ja wieder das gleiche erhalten würde. Das würde allerdings dann zu einer Endlosschlaufe führen, da ja egal, wie oft ich sin²x integriere in der Lösung wieder sin²x integrieren muss.
Zum anderen: Darf ich cos²x=1-sin²x überhaupt verwenden? In der Aufgabenstellung heißt es ja, dass man die Gleichung erst verwenden darf/soll um das ursprüngliche Integral wieder herzustellen...
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Hallo,
$ [mm] \integral_{}^{}{sin^2(x)dx}=-sin(x)\cdot{}cos(x)+x-\integral_{}^{}{sin^2(x)dx} [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] 2\integral_{}^{}{sin^2(x)dx}=-sin(x)\cdot{}cos(x)+x [/mm] $
Gruss
kushkush
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> [mm]\integral_{}^{}{sin^2(x)dx}=-sin(x)\cdot{}cos(x)+x-\integral_{}^{}{sin^2(x)dx}[/mm]
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> [mm]\gdw[/mm] [mm]2\integral_{}^{}{sin^2(x)dx}=-sin(x)\cdot{}cos(x)+x[/mm]
Danke. Da hätte ich ja selbst auch drauf kommen können...
Gibts noch irgendeine Möglichkeit das Integral zu Lösen, ohne dass man cos²x=1-sin²x anwendet??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> >
> [mm]\integral_{}^{}{sin^2(x)dx}=-sin(x)\cdot{}cos(x)+x-\integral_{}^{}{sin^2(x)dx}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw[/mm] [mm]2\integral_{}^{}{sin^2(x)dx}=-sin(x)\cdot{}cos(x)+x[/mm]
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> Danke. Da hätte ich ja selbst auch drauf kommen
> können...
> Gibts noch irgendeine Möglichkeit das Integral zu Lösen,
> ohne dass man cos²x=1-sin²x anwendet??
>
Ohne diese Tatsache wirst du hier kaum weiterkommen.
Marius
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