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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 04.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Berechnen sie folgenden Ausdruck:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt [/mm] |
Guten Morgen,
folgende partielle Integration bereitet mir Kopfschmerzen.
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt
[/mm]
1.Partielle Integration (unbestimmt)
[mm] \integral uv'=uv-\integral [/mm] u'v dt
[mm] u=(e^{-t})^{2}=e^{-2t}
[/mm]
[mm] u'=-2e^{-2t}
[/mm]
v'=cos(2t)
[mm] v=\bruch{1}{2}sin(2t)
[/mm]
[mm] I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)-\integral -2e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t) [/mm] dt
(Kurze Zwischenfrage- Muss ich hier jeden Ausdruck eigentlich einklammern?)
[mm] I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+\integral e^{-2t}*sin(2t) [/mm] dt
2.Partielle Integration (unbestimmt)
[mm] u=e^{-2t}
[/mm]
[mm] u'=-2e^{-2t}
[/mm]
v'=sin(2t)
[mm] v=-\bruch{1}{2}cos(2t)
[/mm]
[mm] I=e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)-\integral -2e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right) [/mm] dt
[mm] I=e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)+\underbrace{\integral e^{-2t}*\left(cos(2t)\right) dt}_{=I}
[/mm]
[mm] I=e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)+I
[/mm]
Somit habe ich wieder mein Ausgangsintegral! Bis hier müsste es richtig sein.
Möchte jetzt gerne den sog. Rückwurf durchführen. D.h., dass I auf die andere Seite zu bringen. Das Problem ist nur, dass mein I auf der rechten Seite ein positives Vorzeichen hat. Wenn ich es jetzt nach links ziehe ergibt es 0. Wie mache ich das jetzt? Wo ist mein Fehler?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Sa 04.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst in der vorletzten Zeile hast du nen Vorzeichenfehler
> Berechnen sie folgenden Ausdruck:
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt[/mm]
> Guten Morgen,
>
> folgende partielle Integration bereitet mir Kopfschmerzen.
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt[/mm]
>
> 1.Partielle Integration (unbestimmt)
>
> [mm]\integral uv'=uv-\integral[/mm] u'v dt
>
> [mm]u=(e^{-t})^{2}=e^{-2t}[/mm]
>
> [mm]u'=-2e^{-2t}[/mm]
>
> v'=cos(2t)
>
> [mm]v=\bruch{1}{2}sin(2t)[/mm]
>
> [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)-\integral -2e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)[/mm]
> dt
>
> (Kurze Zwischenfrage- Muss ich hier jeden Ausdruck
> eigentlich einklammern?)
>
> [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+\integral e^{-2t}*sin(2t)[/mm] dt
>
> 2.Partielle Integration (unbestimmt)
>
> [mm]u=e^{-2t}[/mm]
>
> [mm]u'=-2e^{-2t}[/mm]
>
> v'=sin(2t)
>
> [mm]v=-\bruch{1}{2}cos(2t)[/mm]
>
> [mm]I=e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)-\integral -2e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)[/mm]
> dt
bis hier richtig, die Minus unter dem Integral ergeben +, das Minus vor dem Integral bleibt stehen!
> [mm]I=e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)+\underbrace{\integral e^{-2t}*\left(cos(2t)\right) dt}_{=I}[/mm]
diese Zeile falsch,ausserdem hast du von der ersten Integration das [mm] e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Sa 04.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo
> erst in der vorletzten Zeile hast du nen Vorzeichenfehler
> > Berechnen sie folgenden Ausdruck:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt[/mm]
> > Guten Morgen,
> >
> > folgende partielle Integration bereitet mir Kopfschmerzen.
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt[/mm]
> >
> > 1.Partielle Integration (unbestimmt)
> >
> > [mm]\integral uv'=uv-\integral[/mm] u'v dt
> >
> > [mm]u=(e^{-t})^{2}=e^{-2t}[/mm]
> >
> > [mm]u'=-2e^{-2t}[/mm]
> >
> > v'=cos(2t)
> >
> > [mm]v=\bruch{1}{2}sin(2t)[/mm]
> >
> > [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)-\integral -2e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)[/mm]
> > dt
> >
> > (Kurze Zwischenfrage- Muss ich hier jeden Ausdruck
> > eigentlich einklammern?)
> >
> > [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+\integral e^{-2t}*sin(2t)[/mm] dt
> >
> > 2.Partielle Integration (unbestimmt)
> >
> > [mm]u=e^{-2t}[/mm]
> >
> > [mm]u'=-2e^{-2t}[/mm]
> >
> > v'=sin(2t)
> >
> > [mm]v=-\bruch{1}{2}cos(2t)[/mm]
> >
> > [mm]I=e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)-\integral -2e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)[/mm]
> > dt
> bis hier richtig, die Minus unter dem Integral ergeben +,
> das Minus vor dem Integral bleibt stehen!
> >
> [mm]I=e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)+\underbrace{\integral e^{-2t}*\left(cos(2t)\right) dt}_{=I}[/mm]
>
> diese Zeile falsch,ausserdem hast du von der ersten
> Integration das [mm]e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)[/mm]
Danke für die schnelle Antwort, blöder Fehler! Deinen letzten Satz vestehe ich nicht! Ist er vollständig?
Gruß
mbau16
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Hallo,
mit der ersten partiellen Integration hast Du
> > > [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt[/mm] [mm]=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+\integral e^{-2t}*sin(2t)[/mm] dt
Die partielle Integration von [mm] \integral e^{-2t}*sin(2t)dt [/mm] ergibt
[mm]\integral e^{-2t}*sin(2t) dt =e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)\red{-}\integral 2e^{-2t}*\left(\bruch{1}{2}cos(2t)\right)[/mm]
Du hast nun also
[mm]\green{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt}[/mm] =[mm]e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)\red{-}\green{\integral e^{-2t}*cos(2t)dt}[/mm].
Wenn Du weißt, wie Du x=5-x löst, kannst Du auch das Integral berechnen...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Sa 04.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo,
>
> mit der ersten partiellen Integration hast Du
> > > >
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt[/mm]
> [mm]=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+\integral e^{-2t}*sin(2t)[/mm] dt
>
> Die partielle Integration von [mm]\integral e^{-2t}*sin(2t)dt[/mm]
> ergibt
>
> [mm]\integral e^{-2t}*sin(2t) dt =e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)\red{-}\integral 2e^{-2t}*\left(\bruch{1}{2}cos(2t)\right)[/mm]
>
> Du hast nun also
>
> [mm]\green{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt}[/mm]
> =[mm]e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)\red{-}\green{\integral e^{-2t}*cos(2t)dt}[/mm].
>
> Wenn Du weißt, wie Du x=5-x löst, kannst Du auch das
> Integral berechnen...
Ok-Ist es ab hier mathematisch bis zum Schluss richtig????
[mm] I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)-\underbrace{\integral e^{-2t}*\bruch{1}{2}cos(2t)dt}_{=I}
[/mm]
[mm] I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)-I
[/mm]
[mm] 2I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)
[/mm]
[mm] I=\bruch{1}{2}*e^{-2t}*\bruch{1}{4}sin(2t)+\bruch{1}{2}*e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{4}cos(2t)\right)
[/mm]
[mm] I=e^{-2t}*\bruch{1}{4}sin(2t)*\left(-\bruch{1}{4}cos(2t)\right)
[/mm]
[mm] I=e^{-2t}*\bruch{1}{4}*(sin(2t)-cos(2t))
[/mm]
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> > Hallo,
> >
> > mit der ersten partiellen Integration hast Du
> > > > >
> > [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt[/mm]
> > [mm]=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+\integral e^{-2t}*sin(2t)[/mm] dt
> >
> > Die partielle Integration von [mm]\integral e^{-2t}*sin(2t)dt[/mm]
> > ergibt
> >
> > [mm]\integral e^{-2t}*sin(2t) dt =e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)\red{-}\integral 2e^{-2t}*\left(\bruch{1}{2}cos(2t)\right)[/mm]
> >
> > Du hast nun also
> >
> >
> [mm]\green{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt}[/mm]
> >
> =[mm]e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)\red{-}\green{\integral e^{-2t}*cos(2t)dt}[/mm].
>
> >
> > Wenn Du weißt, wie Du x=5-x löst, kannst Du auch das
> > Integral berechnen...
>
> Ok-Ist es ab hier mathematisch bis zum Schluss richtig????
>
> [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)-\underbrace{\integral e^{-2t}*\bruch{1}{2}cos(2t)dt}_{=I}[/mm]
>
> [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)-I[/mm]
>
> [mm]2I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)[/mm]
>
> [mm]I=\bruch{1}{2}*e^{-2t}*\bruch{1}{4}sin(2t)+\bruch{1}{2}*e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{4}cos(2t)\right)[/mm]
>
> [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{4}sin(2t)*\left(-\bruch{1}{4}cos(2t)\right)[/mm]
>
> [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{4}*(sin(2t)-cos(2t))[/mm]
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Sa 04.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Abend nochmal,
habe noch eine Frage. Diese steht ganz unten.
>
>
> > > Hallo,
> > >
> > > mit der ersten partiellen Integration hast Du
> > > > > >
> > > [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt[/mm]
> > > [mm]=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+\integral e^{-2t}*sin(2t)[/mm] dt
> > >
> > > Die partielle Integration von [mm]\integral e^{-2t}*sin(2t)dt[/mm]
> > > ergibt
> > >
> > > [mm]\integral e^{-2t}*sin(2t) dt =e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)\red{-}\integral 2e^{-2t}*\left(\bruch{1}{2}cos(2t)\right)[/mm]
> > >
> > > Du hast nun also
> > >
> > >
> >
> [mm]\green{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{6}}cos(2t)*(e^{-t})^{2}*dt}[/mm]
> > >
> >
> =[mm]e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)\red{-}\green{\integral e^{-2t}*cos(2t)dt}[/mm].
>
> >
> > >
> > > Wenn Du weißt, wie Du x=5-x löst, kannst Du auch das
> > > Integral berechnen...
> >
> > Ok-Ist es ab hier mathematisch bis zum Schluss richtig????
> >
> >
> [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)-\underbrace{\integral e^{-2t}*\bruch{1}{2}cos(2t)dt}_{=I}[/mm]
>
> >
> >
> [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)-I[/mm]
> >
> >
> [mm]2I=e^{-2t}*\bruch{1}{2}sin(2t)+e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{2}cos(2t)\right)[/mm]
> >
> >
> [mm]I=\bruch{1}{2}*e^{-2t}*\bruch{1}{4}sin(2t)+\bruch{1}{2}*e^{-2t}*\left(-\bruch{1}{4}cos(2t)\right)[/mm]
> >
> >
> [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{4}sin(2t)*\left(-\bruch{1}{4}cos(2t)\right)[/mm]
> >
> > [mm]I=e^{-2t}*\bruch{1}{4}*(sin(2t)-cos(2t))[/mm]
> >
>
>
> Stimmt.
Super, danke für die schnelle Antwort. Habe nun zum guten Schluß die Aufgabe, die obere Grenze von unteren abzuziehen.
[mm] I=I_{1}-I_{2}
[/mm]
Obere Grenze
(Zur Erinnerung, diese ist [mm] \bruch{\pi}{6})
[/mm]
[mm] I_{1}=e^{-\bruch{\pi}{3}}*\bruch{1}{4}\left(sin\left(\bruch{\pi}{3}\right)-cos\left(\bruch{\pi}{3}\right)\right)
[/mm]
[mm] I_{1}=e^{-\bruch{\pi}{3}}*\bruch{1}{4}\left(\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{1}{2}\right)
[/mm]
Wie verfahre ich mit dem [mm] e^{-\bruch{\pi}{3}}?? [/mm] Kann ich das noch weiter vereinfachen?
Untere Grenze:
Könnt Ihr hier bitte auch nochmal ein Blick drauf werfen? Ist es richtig?
(Zur Erinnerung, diese war 0)
[mm] I_{2}=1*\bruch{1}{4}(sin(0)-cos(0))
[/mm]
[mm] I_{2}=-\bruch{1}{4}
[/mm]
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 04.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, und $ [mm] e^{-\bruch{\pi}{3}} [/mm] $kann man nicht vereinfachen.
gruss leduart
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