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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 So 05.02.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=mathed8a11.jpg |
Wie gehe ich an diese Aufgabe ran? Habe es schon mit Substitution probiert, funktioniert aber nicht, hat jemand einen Tipp für mich? Mit partieller Integration habe ich es auch versucht, stellt aber ein Problem dar, wegen dem Bruch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 05.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] \int\frac{x^{2}+2x-1}{x^{3}+x^{2}+x+1}dx
[/mm]
Mache eine Partialbruchzerlegung, dann bekommst du ein Integral der Form
[mm] \int\frac{g'(x)}{g(x)}dx [/mm]
und ein Integral der Form
[mm] \int\frac{a}{x+1}
[/mm]
P.S. Das Integral hier direkt zu schreiben, wäre schöner. Klick mal auf die Formeln, dann bekommst du den Quelltext angezeigt. Als Mathe-Student hilft LaTeX doch ungemein.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 05.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, ich seh es auch gerade, ok, meine Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x+i}+\bruch{C}{x-i}
[/mm]
Und somit:
[mm] \bruch{A(x^2+1)+B(x^2-ix+x-i)+C(x^2+ix+x+i)}{x^3+x^2+x+1}=\bruch{x^2(A+B+C)+x(B-Bi+Ci+C)+(A+Ci+Bi)}{x^3+x^2+x+1}
[/mm]
Jetzt bin ich gerade aber etwas verwirrt, was muss ich da jetzt nochmal gleichsetzen? Das A+B+C muss ich da mit dem Koeffizienten vor dem [mm] x^2 [/mm] im Nenner gleich setzen oder? Also der 1. Aber was mache ich nochmal mit dem [mm] x^3? [/mm] Das ganze liegt etwas zurück, brauch da nochmal einen Anstoß.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 So 05.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hubbel,
Deine beiden komplexen Nullstellen sind doch konjugiert komplex zueinander, dann geht es mit dem Ansatz
[mm] \bruch{A}{x+1} + \bruch{Bx+C}{x^2+1} [/mm]
Jetzt den Hauptnenner bilden und einen Koeffizientenvergleich im Zähler durchführen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 05.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, ja stimmt, also:
[mm] x^2+2x-1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x+1)
[/mm]
[mm] x^2+2x-1=x^2(A+B)+x(B+C)+(A+C)
[/mm]
=> A+B=1; B+C=2; A+C=-1
=> A=-1; B=2; C=0
[mm] =>\bruch{-1}{x+1}+\bruch{2x}{x^2+1}
[/mm]
Verstehe, und das kann ich partiell integerieren:
[mm] \int_{0}^{1} \bruch{-1}{x+1}\, dx+\int_{0}^{1} \bruch{2x}{x^2+1}\, [/mm] dx
Da bei beidem die Ableitung im Zähler steht, gilt:
[mm] -1\int_{0}^{1} \bruch{1}{x+1}\, dx\int_{0}^{1} \bruch{2x}{x^2+1}\, [/mm] dx=-1ln(2)+ln(2)=0
Passt oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 So 05.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ok, ja stimmt, also:
>
> [mm]x^2+2x-1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x+1)[/mm]
>
> [mm]x^2+2x-1=x^2(A+B)+x(B+C)+(A+C)[/mm]
>
> => A+B=1; B+C=2; A+C=-1
>
> => A=-1; B=2; C=0
>
> [mm]=>\bruch{-1}{x+1}+\bruch{2x}{x^2+1}[/mm]
>
> Verstehe, und das kann ich partiell integerieren:
>
> [mm]\int_{0}^{1} \bruch{-1}{x+1}\, dx+\int_{0}^{1} \bruch{2x}{x^2+1}\,[/mm]
> dx
>
> Da bei beidem die Ableitung im Zähler steht, gilt:
>
> [mm]-1\int_{0}^{1} \bruch{1}{x+1}\, dx\int_{0}^{1} \bruch{2x}{x^2+1}\,[/mm]
> dx=-1ln(2)+ln(2)=0
>
> Passt oder?
Nicht ganz.
Es gilt:
$ [mm] \int\frac{x^{2}+2x-1}{x^{3}+x^{2}+x+1}dx [/mm] $
[mm] $=\int\frac{2x}{x^{2}+1}-\frac{1}{x+1}dx$ [/mm]
[mm] $=\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx-\int\frac{1}{x+1}dx [/mm] $
Jetzt überdenke nochmal die Stammfunktionen der einzelnen Integrale.
Das erste ist ein Integral der Form
[mm] \int\frac{g'(x)}{g(x)}dx
[/mm]
hat also die Stammfunktion
ln|g(x)|
Im zweiten Integral substituiere u=x+1, dann gilt dx=du, also
[mm] \int\frac{1}{x+1}dx
[/mm]
[mm] =\int\frac{1}{u}du
[/mm]
Nun bilde die Stammfunktion, und substituiere zurück.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 05.02.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=mathe27173e.jpg |
Das zweite hat ja ebenfalls auch die form g'(x)/g(x), also kann ich da ebenfalls den ln anwenden, aber es passt jetzt eh schon, danke dir!
Jetzt noch zu der zweiten Aufgabe. Da habe ich gar keine Vorstellung von, wie ich da ran gehen könnte, bräuchte da noch einen Tipp.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 So 05.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hubbel,
von welcher zweiten Aufgabe hast Du es denn? Ich sehe nur eine, die wir gerade gelöst haben.
VG,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 So 05.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Die steht in einem Post vor deinem, die hier:
http://www.myimg.de/?img=mathe27173e.jpg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 So 05.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> http://www.myimg.de/?img=mathe27173e.jpg
> Das zweite hat ja ebenfalls auch die form g'(x)/g(x), also
> kann ich da ebenfalls den ln anwenden, aber es passt jetzt
> eh schon, danke dir!
Bitte
>
> Jetzt noch zu der zweiten Aufgabe. Da habe ich gar keine
> Vorstellung von, wie ich da ran gehen könnte, bräuchte da
> noch einen Tipp.
Stelle doch neue Aufgaben in einem neuen Diskussionsstrang. Und was spricht dagegen, das Integral gerade hier einzugeben?
Du hast:
[mm] \int\frac{1}{e^{x}+1}dx
[/mm]
Substituiere nun [mm] u=e^{x}, [/mm] also
[mm] \frac{du}{dx}=e^{x}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow dx=\frac{du}{e^{x}}
[/mm]
Also:
[mm] \int\frac{1}{e^{x}+1}dx
[/mm]
[mm] =\int\frac{1}{u+1}\cdot\frac{du}{e^{x}}
[/mm]
[mm] =\int\frac{1}{(u+1)\cdot u}du
[/mm]
Dieses Integral löse wieder mit Partialbruchzerlegung.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 05.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Gut, dann habe ich:
1=A(u+1)+Bu
=> A=1 und B=-1
[mm] =>\int_{e}^{e^2} \bruch{1}{u}\,du-\int_{e}^{e^2}\bruch{1}{u+1} \,du
[/mm]
[mm] =>ln(u)-ln(u+1)=ln(e^x)-ln(e^x+1)=x-ln(e^x+1)
[/mm]
Passt oder? Also noch ausrechnen, klar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 So 05.02.2012 | | Autor: | hubbel |
Habe meinen Fehler gefunden, bin etwas schusselig zur Zeit, danke!
Habe es oben ausgebessert.
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Hallo hubbel,
> Gut, dann habe ich:
>
> 1=A(u+1)+Bu
>
> => A=1 und B=-1
>
> [mm]=>\int_{e}^{e^2} \bruch{1}{u}\,du-\int_{e}^{e^2}\bruch{1}{u+1} \,du[/mm]
>
> Jetzt kommt da aber 0 raus, wo ist mein Fehler?
Deinen Fehler können wir erst finden,
wenn Du die weiteren Rechenschritte postest,
Gruss
MathePower
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