Integration < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Mo 29.08.2005 | | Autor: | el_dany |
hi leute,
ich habe leider schon wieder ein problem mit den dgls:
es geht um die berechnung von massen bei radioaktiven zerfallsreihen:
m1'= j1*m1
m2'= j1*m1 - j2*m2
mit j als der Zerfallskonstanten und m als der masse
so weit bin ich schon:
M:= Anfangsmasse
m1:=e^at
dann ergibt sich:
m1(t)=M*e^j1*t
aber dann komme ich nicht mehr weiter!
|
|
| |
|
Hallo el_dany,
> hi leute,
> ich habe leider schon wieder ein problem mit den dgls:
> es geht um die berechnung von massen bei radioaktiven
> zerfallsreihen:
> m1'= j1*m1
> m2'= j1*m1 - j2*m2
> mit j als der Zerfallskonstanten und m als der masse
>
> so weit bin ich schon:
> M:= Anfangsmasse
> m1:=e^at
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann ergibt sich:
> m1(t)=M*e^j1*t
> aber dann komme ich nicht mehr weiter!
setze nun die Lösung von [mm]m_1(t)[/mm] in die zweite Gleichung ein und bestimme dann die Lösung dieser Gleichung.
Bei der zweiten Gleichung handelt es sich um eine inhomogene DGL mit konstanten Koeffizienten.
Zunächst wird die homogene Lösung dieser DGL bestimmt. Dann wird zur Bestimmung der partikulären Lösung der Ansatz [mm]m_{2p}(t)\;=\;C(t) m_{2}(t)[/mm] gemacht.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mo 29.08.2005 | | Autor: | el_dany |
tut mir leid, ich steig bei der inhomogenen gleichung nicht durch:
m2'+ j2m2 = j1*m*e-^(j1*t)
wie löse ich das? umstellen damit ...=0?
und dann m2:= e^at ?
die lösung soll sein:
m2(t) = (j1M/(j1-j2))(e^-j2t - e^-j1t)
dahin komme ich einfach nicht, *hilfe*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Di 30.08.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo dany
1. Deine erste Gleichung scheint mir falsch zu sein. wenn m1'=+j1*m1 ist, ist das kein Zerfall, sondern die Masse steigt,statt abzunehmen. Ich denk mal es muss m1'=-j1*m1 sein. Die Lösung dann [mm] m1=A*e^{-j1*t} [/mm] mit A = Masse M1 bei t=0. Aber was ist die Masse von m2 bei t=0? die Angabe fehlt. Aus der angegebenen Lösung schließ ich, dass m2(0)=0 sein soll?!
du hast [mm] m2'=-j2m2+Me^{-j1*t} [/mm] der "homogene" Teil der Gleichung ist :
m2'=-j2m2 den kannst du ja lösen! du bekommst [mm] m2=C*e^{-j2*t}
[/mm]
Eine Methode die inhomogene Gl. zu lösen besteht darin zu schreiben:
[mm] m2=C(t)*e^{-j2*t}. [/mm] das differenzierst du mit Produktregel
[mm] m2'=C'(t)*e^{-j2*t}-C(t)*j2*e^{-j2*t}.
[/mm]
Das vergleichst du mit deiner ursprünglichen DGL
[mm] C'(t)*e^{-j2*t}-C(t)*j2*e^{-j2*t}=-j2C(t)*e^{-j2*t}+Me^{-j1*t} [/mm]
dann findest du [mm] C'(t)*e^{-j2*t}=Me^{-j1*t} [/mm] das nach C' auflösen und integrieren, vergiss die Konstante nicht. dann C(t) wieder in [mm] m2=C(t)*e^{-j2*t} [/mm] einsetzen. das ist die Allgemeine Lösung, in der noch die Integrationskonstant löst. die kriegst du raus, indem du die Anfangsbed. m2(0)=0 einsetzt.
Ich hoff du kommst jetzt durch
gruss leduart
|
|
|
|
