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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | | Integriere: [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{x\cdot \sqrt{x^2-1}} dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich habe versucht die Aufgabe versucht auf zwei verschiedene Arten zu lösen.
Mein erster Ansatz war die Substitution [mm] $t=x^2-1$
[/mm]
Hier komme ich leider auf keine Lösung.
Mein zweiter Ansatz war dann die Substitution [mm] $t=\sqrt{x^2-1}$
[/mm]
Mit diesem Ansatz bin ich recht schnell zum richtigen Ergebnis (nach wolframalpha) gekommen.
Ich möchte die Aufgabe aber auch auf meine Weise lösen und daher würde ich euch bitten meine Versuche zu vergessern.
Also: Substitution [mm] $t=x^2-1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $dx=\frac{1}{2x}dt
[/mm]
Somit folgt das Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{(t+1)\cdot \sqrt{t}} du} [/mm]
Jetzt hätte ich eine Partialbruchzerlegung angesetzt.
Bevor ich aber hier weitermache, würde ich gerne wissen ob mein Weg bis hierher stimmt?
Gruß und dankeschön
Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hans,
Dein Weg sollte auch zum Ziel führen. Der Faktor 2 aus der Substitution ist bei Deinem letzten Ausdruck im Nenner verlorengegangen, sonst sieht es gut aus und Du kannst mit einer Partialbruchzerlegung weitermachen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Hans80 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Infinit,
Dankeschön zunächst mal. Stimmt, die zwei habe ich vergessen abzutippen ist jetzt für die weiteren betrachtungen korrigiert
Ok,dann mach ich mal weiter.
${\frac{1}{2(t+1)\cdot \sqrt{t}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{A}{t+1}+\frac{B}{\sqrt{t}}$
$\Rightarrow$ $1=\frac{1}{2}\cdot A\cdot \sqrt{t}+B\cdot (t+1)$
1. Nullstelle für $x=0$
$B=2$
2. Nullstelle für $x=-1$
$1=j\cdot A$
$Rightarrow$ $A=-2j$
Das die imaginäre Einheit bei so einer Aufgabe auftaucht, macht mich stutzig. Also ich denke ich habe dann etwas falsch gemacht.
Wenn nicht, würde ich so weitermachen:
\integral_{a}^{b}{\frac{-j}{t+1}+\frac{1}{\sqrt{t}} dx}
$j$ würde ich bei der dann folgenden Integration einfach als konstante betrachten?
Gruß Hans
Gruß Hans
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Hallo Hans80,
mir ist ein solcher Partialbruchansatz nicht bekannt. Ich kenne PBZ nur für rationale Funktionen ...
Du brauchst im Nenner lineare und/oder quadratische Terme (evtl. mit Vielfachheiten).
In dem Falle kannst du eine reelle PBZ machen; wenn du alles auf lineare Terme (mit gewisser Vielfachheit) runterbrichst (also komplexe Nullstellen der Nennerpolynome zulässt), musst du halt mit komplexen Zahlen rechnen und bekommst u.U. nachher komplexe Zähler.
Mit einem [mm] $\sqrt{t}$ [/mm] im Nenner hast du keine rationale Funktion.
Wie willst du da einen Ansatz für die PBZ machen?
Das funktioniert nicht ...
Ich denke, du solltest dich mit der anderen Substitution zufrieden geben, zumal die ja auch tadellos funktioniert 
Gruß
schachuzipus
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Hallo, wenn du mit der 1. Substitution [mm] t=x^2-1 [/mm] beginnst, so kommst du ja
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{(t+1)*\wurzel{t}} dt}
[/mm]
mache jetzt die 2. Substitution [mm] u=\wurzel{t}
[/mm]
ist natürlich der gleiche Weg, eben nur in zwei Schritten, entspricht aber der anderen Substitution
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Hans80 |
Ein dankeschön auch an dich Steffi21.
> Hallo, wenn du mit der 1. Substitution [mm]t=x^2-1[/mm] beginnst, so
> kommst du ja
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{(t+1)*\wurzel{t}} dt}[/mm]
>
> mache jetzt die 2. Substitution [mm]u=\wurzel{t}[/mm]
>
> ist natürlich der gleiche Weg, eben nur in zwei Schritten,
> entspricht aber der anderen Substitution
Ja, hab das nun auch einmal so ausprobiert. Funktioniert auch.
Gruß
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