Integration - Beweisidee < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise, dass gilt :
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) *g(x)^{2} dx}=0
[/mm]
Wobei f(x) eine stetig differenzierbare ungerade Funktion sei und g(x) eine gerade Funktion. |
Mir fehlt noch ne Beweisidee :-( .
Hat jemand von Euch eine?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mo 06.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was passiert denn, wenn man eine gerade, positive funKtion mit einer ungeraden multipliziert?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Di 07.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
und ne ungerade fkt von -a bis +a integriert ergibt?
gruss leduart
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Das ist schon klar, sie ergibt 0.
Aber das ist doch kein Beweis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das ist schon klar, sie ergibt 0.
> Aber das ist doch kein Beweis.
Substituiere x=-t
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:20 Di 07.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweise, dass gilt :
> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) *g(x)^{2} dx}=0[/mm]
> Wobei f(x) eine
> stetig differenzierbare ungerade Funktion sei und g(x) eine
> gerade Funktion.
das ist doch irgendwie eine unnötig einschränkende Voraussetzung: wenn [mm] $g\,$ [/mm] ungerade wäre, dann ist doch [mm] $g^2\,$ [/mm] auch gerade. Aber nun gut!
> Mir fehlt noch ne Beweisidee :-( .
Ich habe ein Gegenbeispiel:
[mm] $$f(x)=x\,$$
[/mm]
und [mm] $g(x)=1/|x|\,$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] mit [mm] $g(0):=0\,.$
[/mm]
Alle Voraussetzungen sind erfüllt (dass weder [mm] $g\,$ [/mm] noch [mm] $g^2$ [/mm] auf $[-a,a]$ integrierbar ist, ist egal, nirgends steht etwas dazu in der Aufgabe!). Hier existiert
[mm] $$\int_{-a}^a f(x)*g^2(x)dx=\int_{-a}^a \frac{1}{x}dx$$
[/mm]
nicht (jedenfalls nicht im Riemann-Sinne), da $x [mm] \mapsto [/mm] 1/x$ unbeschränkt auf [mm] $(-\epsilon,\epsilon) \setminus \{0\}$ [/mm] für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Fazit:
Der Aufgabensteller muss zudem (mindestens!) die Integrierbarkeit von [mm] $f*g^2$ [/mm] auf [mm] $[-a,a]\,$ [/mm] durch zusätzliche Forderungen erreichen - ansonsten ist die Aufgabe Unfug.
Gruß,
Marcel
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