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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
| Aufgabe | Sei f:[0,1] --> [mm] \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige: Dann gibt es ein a,b [mm] \in \IR, [/mm] sodass
f(x) = [mm] a+bx+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{f''(t)*|t-x| dt}
[/mm]
für alle [mm] x\in [/mm] [0,1] |
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich an die Aufgabe rangehen kann? ich habe schon mal versucht, dass Integral zu berechnen, aber das ist der falsche Weg.
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Hi,
das sieht doch sehr nach Taylorentwicklung aus, nur leider stimmt das Restglied nicht ganz - vielleicht kannst Du damit was basteln?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
Was eine Taylorentwicklung ist, weiß ich, aber ich kann jetzt keinen Bezug zu der Aufgabe herstellen.
Kannst du mir vielleicht noch ein bisschen weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp: https://matheraum.de/read?i=690567
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze
[mm] $g(x)=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{f''(t)\cdot{}|t-x| dt} [/mm] $
zeige nun, dass g 2-mal differenzierbar ist und $g''=f''$ auf [0,1] ist
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Di 08.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
wie kann ich denn ein Integral ableiten, bzw. sogar zweimal ableiten?
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Hallo Mimuu,
> wie kann ich denn ein Integral ableiten, bzw. sogar zweimal
> ableiten?
Da die Integrationsgrenzen nicht von x abhängig sind
ergibt sich die Ableitung zu:
[mm]g'\left(x\right)=\bruch{d}{dx}\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{f''(t)\cdot{}|t-x| dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{\bruch{d}{dx}\left( \ f''(t)\cdot{}|t-x| \ \right) \ dt}[/mm]
Gruss
MathePower
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