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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | $\integral_{0}^{1}{ \bruch{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dy}$ |
Hallo alle zusammen!
Könnt ihr mir bitte sagen, wie ich eine Stammfunktion dazu bilden kann?? Ich habe bis jetzt gemacht:
1) das Integral zerlegt: $\integral_{0}^{1}{ \bruch{x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}-{ \bruch{2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}dy}$
2) dann nach einem Schritt habe ich: $\integral_{0}^{1}{ y\bruch{-2y}{(x^{2}+y^{2})^2}dy}$
3) wende partielle Integration an.
Den 3. Schritt bekomme ich nicht hin!!! Ich bitte um Hilfe, muss des morgen abgebennnn :(
lg, favourite
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Fr 28.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Grüß Gott!
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dy}[/mm]
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> Hallo alle zusammen!
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> Könnt ihr mir bitte sagen, wie ich eine Stammfunktion dazu
> bilden kann?? Ich habe bis jetzt gemacht:
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> 1) das Integral zerlegt: [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}-{ \bruch{2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}dy}[/mm]
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> 2) dann nach einem Schritt habe ich: [mm]\integral_{0}^{1}{ y\bruch{-2y}{(x^{2}+y^{2})^2}dy}[/mm]
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> 3) wende partielle Integration an.
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> Den 3. Schritt bekomme ich nicht hin!!! Ich bitte um Hilfe,
> muss des morgen abgebennnn :(
Musst du unbedingt diese 3 Schritte machen?
Weil sonst erkennt man durch intesives Anstarren und probieren, dass [mm] \bruch{y}{x^2+y^2} [/mm] eine Stammfunktion von [mm] \bruch{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] ist.
Der Integrand sah halt ziemlich nach Quotientenregel aus...
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> lg, favourite
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> Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
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>
Grüße!
skoopa
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi skoopa,
lieben Dank erstmal für die schnelle Antwort! Ich habe aber dennoch nicht verstanden, wieso da die part. Integration angewendet wird. Ich habe den Lösungsweg da, aber bezweifle die Richtigkeit, ich komme mit der part. Integration nicht zum selben Ergebnis. Hier der weitere Lösungsweg:
$\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}dy+\integral_{0}^{1}{y\bruch{-2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dy}$
nun Anwendung der part. Integration für den 2. Term:
$\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}dy+ [y\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}]_{0}^{1}-\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}dy=[y\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}]_{0}^{1}=\bruch{1}{1+x^{2}}$
Ist das wirklich richtig??? Wenn nein, könntest Du mir bitte den richtigen Weg zeigen?
lg, favourite
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Fr 28.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi skoopa,
>
> lieben Dank erstmal für die schnelle Antwort! Ich habe
> aber dennoch nicht verstanden, wieso da die part.
> Integration angewendet wird. Ich habe den Lösungsweg da,
> aber bezweifle die Richtigkeit, ich komme mit der part.
> Integration nicht zum selben Ergebnis. Hier der weitere
> Lösungsweg:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}dy+\integral_{0}^{1}{y\bruch{-2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dy}[/mm]
>
> nun Anwendung der part. Integration für den 2. Term:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}dy+ [y\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}]_{0}^{1}-\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}dy=[y\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}]_{0}^{1}=\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
>
> Ist das wirklich richtig???
Ja, das ist richtig.
Die Zerlegung des Integranden
[mm] \bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = \bruch{1}{x^{2}+y^{2}} - \bruch{2y^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm]
ist dir ja klar.
Um weiterzukommen, braucht mensch einfach Erfahrung. Dabei gibt es ein paar Regeln, die man ausprobieren kann.
Zum Beispiel: wenn in so einem Integral die Integrationsvariable zum Quadrat vorkommt (hier also: [mm] $y^2$), [/mm] dann bietet sich die Substitution [mm] $z=y^2$ [/mm] an. Damit das aber funktioniert, muss ein einzelnes y im Zähler stehen.
Zum Beispiel ergibt sich mit dieser Substitution
[mm] \integral \bruch{y}{(x^2+y^2)^2} dy = \bruch{1}{2} \integral \bruch{1}{(x^2+z)^2} dz = -\bruch{1}{2}\bruch{1}{x^2+z} = -\bruch{1}{2}\bruch{1}{x^2+y^2} dy[/mm] .
Damit hättest du die Stammfunktion von [mm] $\bruch{y}{(x^2+y^2)^2}$ [/mm] .
In dem Integral, das du ausrechnen sollst, steht aber nicht y, sondern [mm] $y^2$ [/mm] im Zähler. Weil du nun die Stammfunktion für ein einzelnes y im Zähler schon kennst, bietet sich die Zerlegung
[mm] \integral \bruch{y^2}{(x^2+y^2)^2} dy = \integral y* \bruch{y}{(x^2+y^2)^2} dy [/mm]
und partielle Integration an:
[mm] \integral y* \bruch{y}{(x^2+y^2)^2} dy = y * \left(-\bruch{1}{2}\bruch{1}{x^2+y^2}\right) - \integral 1* \left(-\bruch{1}{2}\bruch{1}{x^2+y^2}\right) [/mm]
Daher ist
[mm] \integral\bruch{-2y^2}{(x^2+y^2)^2}dy = -2 *y * \left(-\bruch{1}{2}\bruch{1}{x^2+y^2}\right) +2 * \integral 1* \left(-\bruch{1}{2}\bruch{1}{x^2+y^2}\right)dy = \bruch{y}{x^2+y^2} - \integral\bruch{1}{x^2+y^2} dy [/mm] .
Wenn du den letzten Term auf die linke Seite bringst, steht da das gewünschte Ergebnis:
[mm] \integral\bruch{1}{x^2+y^2} dy+ \integral\bruch{-2y^2}{(x^2+y^2)^2}dy = \bruch{y}{x^2+y^2} [/mm]
und du musst nur noch die Grenzen einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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