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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Fr 15.06.2012 | | Autor: | HugATree |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $f\in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}n,\mathbb{R}).$ Zeigen Sie:
a) Ist $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ kompakt und wegzusammenhängend, so gibt es ein $\xi \in \Omega$ mit $$\int_\Omega{f(x)d\mu(x)}=f(\xi)\mu(\Omega)$$
b) Es gilt $\lim_{\varepsilon \searrow 0}{\frac{1}{\mu(B(x,\varepsilon))}\int_{B(x,\varepsilon)}{f(y)d\mu(y)}=f(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}^n$ |
Guten Tag Matheforum,
ich beschäftige mich schon eine Weile mit dieser Aufgabe, verzweifle aber an ihr.
ich weiß einfach überhaupt nicht, wie ich anfangen soll, bzw, welchen Weg ich nehmen soll...
mir fehlt einfach jeglicher Ansatz und ich würde mich über ein wenig Hilfe freuen.
Vielen Dank
lG
HugATree
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Fr 15.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]f\in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}n,\mathbb{R}).[/mm] Zeigen
> Sie:
> a) Ist [mm]$\Omega \subset \mathbb{R}^n$[/mm] kompakt und
> wegzusammenhängend, so gibt es ein [mm]$\xi \in \Omega$[/mm] mit
> [mm]\int_\Omega{f(x)d\mu(x)}=f(\xi)\mu(\Omega)[/mm]
> b) Es gilt [mm]\lim_{\varepsilon \searrow 0}{\frac{1}{\mu(B(x,\varepsilon))}\int_{B(x,\varepsilon)}{f(y)d\mu(y)}=f(x)[/mm]
> für alle [mm]x\in\mathbb{R}^n[/mm]
> Guten Tag Matheforum,
> ich beschäftige mich schon eine Weile mit dieser Aufgabe,
> verzweifle aber an ihr.
> ich weiß einfach überhaupt nicht, wie ich anfangen soll,
> bzw, welchen Weg ich nehmen soll...
> mir fehlt einfach jeglicher Ansatz und ich würde mich
> über ein wenig Hilfe freuen.
Tipp: da f stetig und [mm] $\Omega$ [/mm] kompakt und wegzusammenhängend ist, nimmt f auf Omega nicht nur sein Maximum und sein Minimum sondern auch jeden Wert dazwischen an.
Viele Grüße
Rainer
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