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| Aufgabe | [mm] \integral_{a}^{b}{ln(2x+3) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx} [/mm] |
Hallo ihr Lieben!
Hab ne Frage zu obiger Integration. Hab die erste mittels Substitution gelöst. Hab 2x+3=z ersetzt. Das müsste doch so gehen oder gibt es eine bessere Lösung?
Bei der 2. bin ich ein wenig unsicher. Hab Produktintegration und Substitution verwendet, aber irgendwie scheint da noch ein Fehler drin zu sein:
[mm] \integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}
[/mm]
NR: u=x
u'=1
[mm] v'=ln(x^{2}+1)
[/mm]
[mm] v=(\bruch{1}{2x})*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))
[/mm]
Hab dazu wieder [mm] x^{2}+1 [/mm] durch z ersetzt.
[mm] \integral_{a}^{b}{ln(x^{2}+1) dx}
[/mm]
[mm] z=x^{2}+1
[/mm]
[mm] z'(x)=\bruch{dz}{dx}=2x
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{2x}*dz
[/mm]
also [mm] \integral_{a}^{b}{ln (z)*\bruch{1}{2x}dz}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2x}*\integral_{a}^{b}{ln(z) dz}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2x}*(z*ln(z)-z)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2x}*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))
[/mm]
Liegt hier schon der Fehler?
und nun mit dem Obigen zusammenführen:
[mm] \integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2x}*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))*x-\integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}
[/mm]
dann hab ich das einfach zur rechten Seite addiert und durch 2 dividiert:
[mm] 2*\integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))
[/mm]
Aber im Taschenrechner wird als Ergebnis [mm] \bruch{1}{2}*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))angezeigt. [/mm] Wo liegt denn hier nur der Fehler? Bin langsam betriebsblind und find ihn nicht mehr.
Danke für eure Hilfe!
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Hallo Juliane04,
> [mm]\integral_{a}^{b}{ln(2x+3) dx}[/mm]
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> [mm]\integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}[/mm]
> Hallo ihr Lieben!
>
> Hab ne Frage zu obiger Integration. Hab die erste mittels
> Substitution gelöst. Hab 2x+3=z ersetzt. Das müsste doch so
> gehen oder gibt es eine bessere Lösung?
Die Idee mit der Substitution ist richtig.
>
> Bei der 2. bin ich ein wenig unsicher. Hab
> Produktintegration und Substitution verwendet, aber
> irgendwie scheint da noch ein Fehler drin zu sein:
> [mm]\integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}[/mm]
> NR: u=x
> u'=1
> [mm]v'=ln(x^{2}+1)[/mm]
> [mm]v=(\bruch{1}{2x})*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))[/mm]
Andersrum ist es besser: [mm]u=\ln\left(x^{2}+1}\right), v'=x[/mm]
> Hab dazu wieder [mm]x^{2}+1[/mm] durch z ersetzt.
> [mm]\integral_{a}^{b}{ln(x^{2}+1) dx}[/mm]
Hier ist ein x verlorengegangen:
[mm]\integral_{}^{}{\red{x}*\ln\left(x^{2}+1\right) dx}[/mm]
> [mm]z=x^{2}+1[/mm]
> [mm]z'(x)=\bruch{dz}{dx}=2x[/mm]
> [mm]dx=\bruch{1}{2x}*dz[/mm]
> also [mm]\integral_{a}^{b}{ln (z)*\bruch{1}{2x}dz}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2x}*\integral_{a}^{b}{ln(z) dz}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2x}*(z*ln(z)-z)[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2x}*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))[/mm]
> Liegt hier schon der Fehler?
> und nun mit dem Obigen zusammenführen:
> [mm]\integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2x}*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))*x-\integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}[/mm]
>
> dann hab ich das einfach zur rechten Seite addiert und
> durch 2 dividiert:
> [mm]2*\integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{x*ln(x^{2}+1) dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{4}*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))[/mm]
>
> Aber im Taschenrechner wird als Ergebnis
> [mm]\bruch{1}{2}*((x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)-(x^{2}+1))angezeigt.[/mm] Wo
> liegt denn hier nur der Fehler? Bin langsam betriebsblind
> und find ihn nicht mehr.
Die Substitution, die Du angewendet hast, ist richtig.
Es ist [mm]z=x^{2}+1[/mm], damit [mm]dz=2x \ dx \Rightarrow x dx = \bruch{1}{2} dz[/mm].
Daher gilt:
[mm]\integral_{}^{}{x*\ln\left(x^{2}+1\right) dx} = \integral_{}^{}{\ln\left(x^{2}+1\right)*x \ dx} = \bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{\ln\left(z\right) \ dz}[/mm]
Das Integral kannst Du via partieller Integration berechnen:
[mm]\integral_{}^{}{\ln\left(z\right) \ dz}=z*\ln\left(z\right) - \integral_{}^{}{z*\bruch{1}{z} \ dz}=\integral_{}^{}{1 \ dz}=z*\ln\left(z\right)-z[/mm]
Dann gilt:
[mm]\integral_{}^{}{x*\ln\left(x^{2}+1\right) dx} =\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{\ln\left(z\right) \ dz}=\bruch{1}{2}*\left(z*\ln\left(z\right) - z\right) [/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}z*\left(\ln\left(z\right) - 1\right)=\bruch{1}{2}\left(x^{2}+1\right)*\left(\ln\left(x^{2}+1\right) - 1\right)[/mm]
Und das stimmt mit dem Ergebnis im Taschenrechner überein.
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> Danke für eure Hilfe!
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Gruß
MathePower
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