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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 So 09.04.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Riemansche Integral
I = [mm] \integral_{-1}^{3}{x^2 dx}
[/mm]
analog zur als Grenzwert der Zwischensummen mit einer äquidistante Unterteilung des Intervalls [-1,3]. Wählen Sie die Punkte [mm] \xi_{i} [/mm] zunächst alle am lnken Rand des zugehörigen Intervalls.
Ändert sich der Grenzwert, wenn alle [mm] \xi_{i} [/mm] am rechten Intervallrand oder in der Intervallmitte liegen?
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Hi zusammen!
Ja, diese Aufgabe habe ich hier vor mir liegen.
Die Teilintervalle berechnen sich doch durch [mm] f(\xi_{i})*(x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}).
[/mm]
Um den Grenzwert des Integrals zu berechnen, setze ich also ein:
I = [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2}*(x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1})
[/mm]
Ausklammern (also ich klammere hier aus, weil ich die Summe ja irgendwie später mal wegbekommen muss, oder alernativ einen Grenzwert finden muss):
I = [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i}^{3} [/mm] - [mm] (x_{i} [/mm] * [mm] x_{i-1})
[/mm]
Weiter komme ich ehrlich gesagt schon nicht ;-(...und was das nun mit der linken oder rechten Intervallsgrenze zu tun hat ist mir leider auch schleierhaft. Ich darf ja nicht einfach irgend ein n wählen und es dann von Hand ausrechnen...
danke für jede(n Versuch zur) Hilfe
Die Frage habe ich nur hier gestellt ( ist halt mein Lieblingsforum ;))
edit: Da noch niemand geantwortet hat, oder dabei ist: Hier meine neuen Errungenschaften!
die äquidistante Zerlegung:
[mm] \bruch{(b-a)}{n} [/mm] = [mm] \delta x_{i}
[/mm]
&
Zwischenwert, welcher mir noch fehlt (ich habe für das, an der Tafel angeschriebene beispiel einen speziellen zwischenwert von [mm] f(\xi_{i}) [/mm] = [mm] a+i*\deltax [/mm] -> hier war f(x) = x .........
mit zwischenwert = z erhalte ich also:
I = [mm] \bruch{(b-a)}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] z
für die oben genannte summe (für die mir der zwischenwert fehlt) muss ich also den grenzwert betrachten, richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 So 09.04.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> Die Teilintervalle berechnen sich doch durch
> [mm]f(\xi_{i})*(x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1}).[/mm]
> Um den Grenzwert des Integrals zu berechnen, setze ich
> also ein:
>
> I = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2}*(x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm]
>
> ausklammern (also ich klammere heir aus, weil ich die summe
> ja irgendwie später mal wegbekommen muss, oder einen
> Grenzwert finden):
>
> I = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{3}[/mm] - [mm](x_{i}[/mm] * [mm]x_{i-1})[/mm]
Das ist ein schön allgemeiner und richtiger Ansatz. Nun sollst du aber nicht mit [mm] x_{i} [/mm] arbeiten, sondern mit konkreten Zahlen, damit du überhaupt ein Wert rauskriegen willst. Du hast ja die Intervallgrenzen, vergessen?
Wenn du das Intervall in n gleichlange Intervalle unterteilst, dann ist
[mm] I_{n}=\summe_{i=1}^n\bruch{4}{n}*\left(-1+\bruch{4(i-1)}{n}\right)^{2}.
[/mm]
[mm] \bruch{4}{n} [/mm] ist die Intervallänge der Teilintervalle und
[mm] \left(-1+\bruch{4(i-1)}{n}\right)^{2} [/mm] ist das jeweilige [mm] x_{i}, [/mm] in diesem Fall das linke (deswegen auch [mm] \bruch{4(i-1)}{n} [/mm] statt [mm] \bruch{4i}{n} [/mm] ).
Jetzt lässt du n gegen unendlich laufen und bestimmst den Grenzwert.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 So 09.04.2006 | | Autor: | FlorianJ |
achsooooooooooooooo also setze ich einfach die intervallgrenzen ein, ja klar, das ergibt sinn :D...
super, danke!
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