Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:24 Mo 03.02.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
| Aufgabe | Berechne das Integral
[mm] \integral_{0}^{3}{\bruch{dx}{\wurzel{9-x^{2}}}} [/mm] |
Hallo!
Bei mir ist Integration leider etwas länger her und ich weiß, dass das irgendwie mit sin / arcsin geht, aber die genaue Substitution will mir einfach nicht einfallen...
Wäre toll, wenn mir jemand da helfen könnte...
Vielen Dank!
LG
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Hallo,
> Berechne das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{3}{\bruch{dx}{\wurzel{9-x^{2}}}}[/mm]
> Hallo!
>
> Bei mir ist Integration leider etwas länger her und ich
> weiß, dass das irgendwie mit sin / arcsin geht, aber die
> genaue Substitution will mir einfach nicht einfallen...
Deine Vermutung ist schon richtig, es ist aber damit nicht getan: denn es handelt sich um ein uneigentliches Integral!
Es ist
[mm] \int{\bruch{dx}{\wurzel{1-x^2}}}=arcsin(x)+C
[/mm]
Und wenn du den Faktor 9 aus der Wurzel herausziehst, wirst du die richtige (und lineare!) Substitution leicht einsehen.
Das uneigentliche Integral existiert in diesem Fall, ich schrieb es jedoch dazu, denn man sollte das auf jeden Fall beim Aufschrieb irgendwie berücksichtigen, etwa indem man zunächst
[mm] \lim_{b \uparrow{3}} \int_0^b{\bruch{dx}{\wurzel{9-x^2}}}
[/mm]
betrachtet.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Mo 03.02.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Ok, danke!
Dann müsste das so sein, oder?
[mm] \integral_{0}^{3}{\bruch{dx}{\wurzel{9-x^{2}}}}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{3}{\bruch{dx}{\wurzel{9(1-\bruch{x^{2}}{9})}}}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{3}{\bruch{1}{3}\bruch{dx}{\wurzel{(1-\bruch{x^{2}}{9})}}}
[/mm]
Substitution: [mm] t=\bruch{x}{3} \Rightarrow \bruch{dx}{dt}=\bruch{1}{3} \Rightarrow [/mm] dx=3 dt
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{3}{\bruch{1}{3}\bruch{dx}{\wurzel{(1-\bruch{x^{2}}{9})}}}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\bruch{x}{3}}{\bruch{1}{3}\bruch{3dt}{\wurzel{(1-t^{2})}}}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\bruch{x}{3}}{\bruch{dt}{\wurzel{(1-t^{2})}}}
[/mm]
[mm] =arcsin(\bruch{x}{3})-arcsin(0)
[/mm]
[mm] =arcsin(\bruch{x}{3})
[/mm]
Ist das so richtig?
Nochmals vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke!
> Dann müsste das so sein, oder?
>
> [mm]\integral_{0}^{3}{\bruch{dx}{\wurzel{9-x^{2}}}}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{3}{\bruch{dx}{\wurzel{9(1-\bruch{x^{2}}{9})}}}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{3}{\bruch{1}{3}\bruch{dx}{\wurzel{(1-\bruch{x^{2}}{9})}}}[/mm]
>
> Substitution: [mm]t=\bruch{x}{3} \Rightarrow \bruch{dx}{dt}=\bruch{1}{3} \Rightarrow[/mm]
> dx=3 dt
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{3}{\bruch{1}{3}\bruch{dx}{\wurzel{(1-\bruch{x^{2}}{9})}}}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{\bruch{x}{3}}{\bruch{1}{3}\bruch{3dt}{\wurzel{(1-t^{2})}}}[/mm]
Was hast Du denn da für eine obere Integrationsgrenze ????
Wenn x=3 ist, dann ist t=1, also
[mm]=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{3}\bruch{3dt}{\wurzel{(1-t^{2})}}}[/mm]
FRED
>
> [mm]=\integral_{0}^{\bruch{x}{3}}{\bruch{dt}{\wurzel{(1-t^{2})}}}[/mm]
>
> [mm]=arcsin(\bruch{x}{3})-arcsin(0)[/mm]
>
> [mm]=arcsin(\bruch{x}{3})[/mm]
>
> Ist das so richtig?
>
> Nochmals vielen Dank!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Mo 03.02.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Ok, dann also:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{3}\bruch{3dt}{\wurzel{(1-t^{2})}}}
[/mm]
[mm] =arcsin(1)=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Richtig?
Vielen Dank!
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann also:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{3}\bruch{3dt}{\wurzel{(1-t^{2})}}}[/mm]
>
> [mm]=arcsin(1)=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Richtig?
Na ja. Diophant hat Dir doch gesagt, dass es sich um ein uneigentliches Integral handelt, daher ist , gannz korrekt,
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{\wurzel{1-t^{2}}}}=\limes_{s\rightarrow 1-0}\integral_{0}^{s}{\bruch{dt}{\wurzel{1-t^{2}}}}[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank!
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Mo 03.02.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Dann so:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{\wurzel{1-t^{2}}}}=\limes_{s\rightarrow 1}\integral_{0}^{s}{\bruch{dt}{\wurzel{1-t^{2}}}}=\limes_{s\rightarrow 1} [/mm] arcsin(s) - arcsin(0) [mm] =\limes_{s\rightarrow 1} [/mm] arcsin(s) = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
wobei s von unten gegen 0 konvergiert ?
Danke!
LG
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Hallo,
> Dann so:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{\wurzel{1-t^{2}}}}=\limes_{s\rightarrow 1}\integral_{0}^{s}{\bruch{dt}{\wurzel{1-t^{2}}}}=\limes_{s\rightarrow 1}[/mm]
> arcsin(s) - arcsin(0) [mm]=\limes_{s\rightarrow 1}[/mm] arcsin(s) =
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
Ja, wobei man den Limes direkt nach der Intergation auswerten kann. Außerdem sollte bei der Limes-Schreibweise stets sinnvoll geklammert werden!
> wobei s von unten gegen 0 konvergiert ?
Nein. Das Integral konvergiert streng genommen, das formuliert man aber eher nicht so. Man sagt in solchen Fällen oft, dass ein (uneigentliches) Integral existiert, sofern es einen endlichen Grenzwert besitzt. s strebt ganz einfach von unten gegen 1, da ist der Begriff konvergieren völlig fehl am PLatz. Schlag mal solche einschlägigen Dinge besser noch einmal nach!
Gruß, Diophant
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